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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zweite Vorlesung.

Was in logischer Beziehung davon zu halten sei, dass bei vorstehen-
der Beweisführung im Grunde der Schluss der "vollständigen Induktion",
"Schluss von n auf n + 1" angewendet werden musste, darüber sei auf
Anhang 3 und auf § 51 verwiesen.

Ist nun irgend ein System von Gleichungen als zwischen Gebieten
bestehend gegeben, so werden diese Gebiete unter sich gleich sein
müssen, wenn es gelingt, die gegebenen Gleichungen so in einer Reihe
anzuordnen, dass beim Durchgehen derselben in einem bestimmten
Sinne -- etwa von links nach rechts fortschreitend -- man in jeder
neu ins Auge gefassten Gleichung auf ein Gebiet stösst, welches be-
reits in wenigstens einer der vorhergehenden Gleichungen als linke
oder rechte Seite vorgekommen war. Um dies zu entscheiden, kann
man eine beliebige von den Gleichungen als erste herausschreiben,
darauf als zweite eine solche folgen lassen, welche eines der in der
ersten stehenden Gebiete enthält, als dritte dann aus dem Reste eine
solche Gleichung herauslesen, welche abermals die Forderung erfüllt
mindestens eines der bisher schon vorgekommenen Gebiete zu ent-
halten, und so weiter bis zu Ende. Ist es auf eine Art möglich, in
dieser Weise mit den Gleichungen zu Ende zu kommen, so würde sich
nachweisen lassen, dass dies auf jede Art eintreffen muss, mit welcher
Gleichung des Systems man auch beginnen und wie man auch mit
der Auslese der immer mindestens ein früheres Symbol enthaltenden
Gleichungen fortfahren mag. --

Es sollen jetzt noch zwei spezielle Gebiete in die Algebra der Logik
eingeführt werden, für welche als Namen, wie unter Th. 22) dargelegt
wird, die Zahlzeichen 0 und 1 sich empfehlen. Auch diese wollen wir
vermittelst des Beziehungszeichens der Einordnung erklären, und zwar
erfolge die

Definition (2x) der "identischen
Null"		Definition (2+) der "identischen
Eins"
dadurch, dass wir die Subsumtion
0 aa 1
als eine allgemeingültige, nämlich für jedes Gebiet a unsrer Mannigfal-
tigkeit anzuerkennende hinstellen. Dies will sagen:
0 nennen wir ein Gebiet, welches
zu jedem Gebiete a in der Be-
ziehung der Einordnung steht,
welches in jedem Gebiete der Man-
nigfaltigkeit enthalten ist.		1 nennen wir ein Gebiet, zu wel-
chem jedes Gebiet a in der Be-
ziehung der Einordnung steht, in
welchem jedes Gebiet der Mannig-
faltigkeit enthalten ist.

Die Symbole 0 und 1, denen wir diese Eigenschaft zuschreiben,

Zweite Vorlesung.

Was in logischer Beziehung davon zu halten sei, dass bei vorstehen-
der Beweisführung im Grunde der Schluss der „vollständigen Induktion“,
„Schluss von n auf n + 1“ angewendet werden musste, darüber sei auf
Anhang 3 und auf § 51 verwiesen.

Ist nun irgend ein System von Gleichungen als zwischen Gebieten
bestehend gegeben, so werden diese Gebiete unter sich gleich sein
müssen, wenn es gelingt, die gegebenen Gleichungen so in einer Reihe
anzuordnen, dass beim Durchgehen derselben in einem bestimmten
Sinne — etwa von links nach rechts fortschreitend — man in jeder
neu ins Auge gefassten Gleichung auf ein Gebiet stösst, welches be-
reits in wenigstens einer der vorhergehenden Gleichungen als linke
oder rechte Seite vorgekommen war. Um dies zu entscheiden, kann
man eine beliebige von den Gleichungen als erste herausschreiben,
darauf als zweite eine solche folgen lassen, welche eines der in der
ersten stehenden Gebiete enthält, als dritte dann aus dem Reste eine
solche Gleichung herauslesen, welche abermals die Forderung erfüllt
mindestens eines der bisher schon vorgekommenen Gebiete zu ent-
halten, und so weiter bis zu Ende. Ist es auf eine Art möglich, in
dieser Weise mit den Gleichungen zu Ende zu kommen, so würde sich
nachweisen lassen, dass dies auf jede Art eintreffen muss, mit welcher
Gleichung des Systems man auch beginnen und wie man auch mit
der Auslese der immer mindestens ein früheres Symbol enthaltenden
Gleichungen fortfahren mag. —

Es sollen jetzt noch zwei spezielle Gebiete in die Algebra der Logik
eingeführt werden, für welche als Namen, wie unter Th. 22) dargelegt
wird, die Zahlzeichen 0 und 1 sich empfehlen. Auch diese wollen wir
vermittelst des Beziehungszeichens der Einordnung erklären, und zwar
erfolge die

Definition (2×) der „identischen
Null“		Definition (2+) der „identischen
Eins“
dadurch, dass wir die Subsumtion
0 ⋹ aa ⋹ 1
als eine allgemeingültige, nämlich für jedes Gebiet a unsrer Mannigfal-
tigkeit anzuerkennende hinstellen. Dies will sagen:
0 nennen wir ein Gebiet, welches
zu jedem Gebiete a in der Be-
ziehung der Einordnung steht,
welches in jedem Gebiete der Man-
nigfaltigkeit enthalten ist.		1 nennen wir ein Gebiet, zu wel-
chem jedes Gebiet a in der Be-
ziehung der Einordnung steht, in
welchem jedes Gebiet der Mannig-
faltigkeit enthalten ist.

Die Symbole 0 und 1, denen wir diese Eigenschaft zuschreiben,

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[188/0208] Zweite Vorlesung. Was in logischer Beziehung davon zu halten sei, dass bei vorstehen- der Beweisführung im Grunde der Schluss der „vollständigen Induktion“, „Schluss von n auf n + 1“ angewendet werden musste, darüber sei auf Anhang 3 und auf § 51 verwiesen. Ist nun irgend ein System von Gleichungen als zwischen Gebieten bestehend gegeben, so werden diese Gebiete unter sich gleich sein müssen, wenn es gelingt, die gegebenen Gleichungen so in einer Reihe anzuordnen, dass beim Durchgehen derselben in einem bestimmten Sinne — etwa von links nach rechts fortschreitend — man in jeder neu ins Auge gefassten Gleichung auf ein Gebiet stösst, welches be- reits in wenigstens einer der vorhergehenden Gleichungen als linke oder rechte Seite vorgekommen war. Um dies zu entscheiden, kann man eine beliebige von den Gleichungen als erste herausschreiben, darauf als zweite eine solche folgen lassen, welche eines der in der ersten stehenden Gebiete enthält, als dritte dann aus dem Reste eine solche Gleichung herauslesen, welche abermals die Forderung erfüllt mindestens eines der bisher schon vorgekommenen Gebiete zu ent- halten, und so weiter bis zu Ende. Ist es auf eine Art möglich, in dieser Weise mit den Gleichungen zu Ende zu kommen, so würde sich nachweisen lassen, dass dies auf jede Art eintreffen muss, mit welcher Gleichung des Systems man auch beginnen und wie man auch mit der Auslese der immer mindestens ein früheres Symbol enthaltenden Gleichungen fortfahren mag. — Es sollen jetzt noch zwei spezielle Gebiete in die Algebra der Logik eingeführt werden, für welche als Namen, wie unter Th. 22) dargelegt wird, die Zahlzeichen 0 und 1 sich empfehlen. Auch diese wollen wir vermittelst des Beziehungszeichens der Einordnung erklären, und zwar erfolge die Definition (2×) der „identischen Null“ Definition (2+) der „identischen Eins“ dadurch, dass wir die Subsumtion 0 ⋹ a a ⋹ 1 als eine allgemeingültige, nämlich für jedes Gebiet a unsrer Mannigfal- tigkeit anzuerkennende hinstellen. Dies will sagen: 0 nennen wir ein Gebiet, welches zu jedem Gebiete a in der Be- ziehung der Einordnung steht, welches in jedem Gebiete der Man- nigfaltigkeit enthalten ist. 1 nennen wir ein Gebiet, zu wel- chem jedes Gebiet a in der Be- ziehung der Einordnung steht, in welchem jedes Gebiet der Mannig- faltigkeit enthalten ist. Die Symbole 0 und 1, denen wir diese Eigenschaft zuschreiben,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 188. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/208>, abgerufen am 23.11.2024.