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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 4. Folgesätze. Gleichheit.
c b und b a, also nach II auch c a. Die gefolgerten beiden
Ergebnisse a c und c a lassen sich aber nach Def. (1) Teil (1)'
zusammenfassen zu der Gleichung a = c, womit der Satz bewiesen ist.

Die Theoreme 2), 3), 4) finden bereits unter Prinzip II sich durch
Figuren erläutert, vergl. Fig. 3 ... 6.

Zusatz zu Th. 4). Die Ausdehnung des Satzes von zweien auf
eine beliebige Menge als erfüllt vorauszusetzender Gleichungen, welche
sich so anordnen lassen, dass sie eine stetige Kette bilden, d. h. dass
die einander zugewendeten Seiten benachbarter Gleichungen jeweils
übereinstimmen, ist naheliegend, und kann durch wiederholte Anwen-
dung des Th. 4) unschwer bewiesen werden.

Wenn a = b, b = c und c = d ist, so folgt aus den zwei ersten
Gleichungen nach 4) zunächst a = c und hieraus, in Verbindung mit
der dritten Gleichung folgt ebenso: a = d. Daneben folgt auch aus
den beiden letzten Gleichungen b = d, sodass hier jede zwei vorkom-
mende Symbole als gleich nachweisbar sind.

Zusatzdefinition zu (1). Nunmehr kann auch der Begriff der
identischen Gleichheit von zweien auf eine beliebige Menge von Ge-
bieten ausgedehnt werden. Die Gebiete der Menge sind "einander
gleich" zu nennen, wenn (d. h. immer dann und nur dann, wenn) je
zwei derselben einander gleich sind.

Dass solches stattfinde, wird ausgedrückt, indem man die Namen
der Gebiete in irgend einer Folge auf der Zeile durch Gleichheits-
zeichen verbindet, z. B. schreibt:
a = b = c = ...

Tritt zu einer Menge von unter sich gleichen Symbolen ein wei-
teres Symbol hinzu, welches einem von jenen gleich ist, so bilden die
bisherigen Symbole zusammen eine neue Menge von unter sich gleichen
Symbolen.

Denn ist a1 = a2 = ... = ax = ... = an die erstgedachte Menge
und trits an + 1 = ax hinzu, so ist für l = 1, 2, ... n auch leicht zu be-
weisen, dass das neuhinzugekommene an + 1 = al sein muss, in Anbetracht
dass ax = al schon laut Voraussetzung gilt. Ein beliebig aus der neuen
Menge herausgehobenes Paar von Symbolen enthält entweder das neu hin-
zugekommene Symbol an + 1 oder nicht. Im ersten Falle enthält es neben
jenem Symbole noch ein solches al der alten Menge, und ist die Gleich-
heit beider Symbole des Paars soeben bewiesen. Im zweiten Falle muss
das Paar aus zwei Symbolen al und am der alten Menge bestehen und ist
deren Gleichheit bereits in der Voraussetzung gefordert, dass sämtliche
Symbole dieser letztern einander gleich seien.

In beiden Fällen sind also die zwei Symbole des aus der neuen Menge
herausgehobenen Paares in der That einander gleich.

§ 4. Folgesätze. Gleichheit.
c ⋹ b und b ⋹ a, also nach II auch c ⋹ a. Die gefolgerten beiden
Ergebnisse a ⋹ c und c ⋹ a lassen sich aber nach Def. (1) Teil (1)'
zusammenfassen zu der Gleichung a = c, womit der Satz bewiesen ist.

Die Theoreme 2), 3), 4) finden bereits unter Prinzip II sich durch
Figuren erläutert, vergl. Fig. 3 … 6.

Zusatz zu Th. 4). Die Ausdehnung des Satzes von zweien auf
eine beliebige Menge als erfüllt vorauszusetzender Gleichungen, welche
sich so anordnen lassen, dass sie eine stetige Kette bilden, d. h. dass
die einander zugewendeten Seiten benachbarter Gleichungen jeweils
übereinstimmen, ist naheliegend, und kann durch wiederholte Anwen-
dung des Th. 4) unschwer bewiesen werden.

Wenn a = b, b = c und c = d ist, so folgt aus den zwei ersten
Gleichungen nach 4) zunächst a = c und hieraus, in Verbindung mit
der dritten Gleichung folgt ebenso: a = d. Daneben folgt auch aus
den beiden letzten Gleichungen b = d, sodass hier jede zwei vorkom-
mende Symbole als gleich nachweisbar sind.

Zusatzdefinition zu (1). Nunmehr kann auch der Begriff der
identischen Gleichheit von zweien auf eine beliebige Menge von Ge-
bieten ausgedehnt werden. Die Gebiete der Menge sind „einander
gleich“ zu nennen, wenn (d. h. immer dann und nur dann, wenn) je
zwei derselben einander gleich sind.

Dass solches stattfinde, wird ausgedrückt, indem man die Namen
der Gebiete in irgend einer Folge auf der Zeile durch Gleichheits-
zeichen verbindet, z. B. schreibt:
a = b = c = …

Tritt zu einer Menge von unter sich gleichen Symbolen ein wei-
teres Symbol hinzu, welches einem von jenen gleich ist, so bilden die
bisherigen Symbole zusammen eine neue Menge von unter sich gleichen
Symbolen.

Denn ist a1 = a2 = … = a× = … = an die erstgedachte Menge
und trits an + 1 = a× hinzu, so ist für λ = 1, 2, … n auch leicht zu be-
weisen, dass das neuhinzugekommene an + 1 = aλ sein muss, in Anbetracht
dass a× = aλ schon laut Voraussetzung gilt. Ein beliebig aus der neuen
Menge herausgehobenes Paar von Symbolen enthält entweder das neu hin-
zugekommene Symbol an + 1 oder nicht. Im ersten Falle enthält es neben
jenem Symbole noch ein solches aλ der alten Menge, und ist die Gleich-
heit beider Symbole des Paars soeben bewiesen. Im zweiten Falle muss
das Paar aus zwei Symbolen aλ und aμ der alten Menge bestehen und ist
deren Gleichheit bereits in der Voraussetzung gefordert, dass sämtliche
Symbole dieser letztern einander gleich seien.

In beiden Fällen sind also die zwei Symbole des aus der neuen Menge
herausgehobenen Paares in der That einander gleich.

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[187/0207] § 4. Folgesätze. Gleichheit. c ⋹ b und b ⋹ a, also nach II auch c ⋹ a. Die gefolgerten beiden Ergebnisse a ⋹ c und c ⋹ a lassen sich aber nach Def. (1) Teil (1)' zusammenfassen zu der Gleichung a = c, womit der Satz bewiesen ist. Die Theoreme 2), 3), 4) finden bereits unter Prinzip II sich durch Figuren erläutert, vergl. Fig. 3 … 6. Zusatz zu Th. 4). Die Ausdehnung des Satzes von zweien auf eine beliebige Menge als erfüllt vorauszusetzender Gleichungen, welche sich so anordnen lassen, dass sie eine stetige Kette bilden, d. h. dass die einander zugewendeten Seiten benachbarter Gleichungen jeweils übereinstimmen, ist naheliegend, und kann durch wiederholte Anwen- dung des Th. 4) unschwer bewiesen werden. Wenn a = b, b = c und c = d ist, so folgt aus den zwei ersten Gleichungen nach 4) zunächst a = c und hieraus, in Verbindung mit der dritten Gleichung folgt ebenso: a = d. Daneben folgt auch aus den beiden letzten Gleichungen b = d, sodass hier jede zwei vorkom- mende Symbole als gleich nachweisbar sind. Zusatzdefinition zu (1). Nunmehr kann auch der Begriff der identischen Gleichheit von zweien auf eine beliebige Menge von Ge- bieten ausgedehnt werden. Die Gebiete der Menge sind „einander gleich“ zu nennen, wenn (d. h. immer dann und nur dann, wenn) je zwei derselben einander gleich sind. Dass solches stattfinde, wird ausgedrückt, indem man die Namen der Gebiete in irgend einer Folge auf der Zeile durch Gleichheits- zeichen verbindet, z. B. schreibt: a = b = c = … Tritt zu einer Menge von unter sich gleichen Symbolen ein wei- teres Symbol hinzu, welches einem von jenen gleich ist, so bilden die bisherigen Symbole zusammen eine neue Menge von unter sich gleichen Symbolen. Denn ist a1 = a2 = … = a× = … = an die erstgedachte Menge und trits an + 1 = a× hinzu, so ist für λ = 1, 2, … n auch leicht zu be- weisen, dass das neuhinzugekommene an + 1 = aλ sein muss, in Anbetracht dass a× = aλ schon laut Voraussetzung gilt. Ein beliebig aus der neuen Menge herausgehobenes Paar von Symbolen enthält entweder das neu hin- zugekommene Symbol an + 1 oder nicht. Im ersten Falle enthält es neben jenem Symbole noch ein solches aλ der alten Menge, und ist die Gleich- heit beider Symbole des Paars soeben bewiesen. Im zweiten Falle muss das Paar aus zwei Symbolen aλ und aμ der alten Menge bestehen und ist deren Gleichheit bereits in der Voraussetzung gefordert, dass sämtliche Symbole dieser letztern einander gleich seien. In beiden Fällen sind also die zwei Symbole des aus der neuen Menge herausgehobenen Paares in der That einander gleich.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 187. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/207>, abgerufen am 23.11.2024.