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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dritte Vorlesung.

Der Sinn auch dieser Erklärung mag durch eine Figur erläutert
werden, in welcher sich die vorausgesetzten Bedingungen hinsichtlich
der Gebiete a, b, c und wenigstens eines bestimmten x verwirklicht
zeigen (Fig. 8x u. Fig. 8+). Es bedeuten a, b, x Kreisflächen und c
das "Bilineum", die von den zwei Kreisbogen begrenzte Fläche.

Zusatz 1 zu Th. 9). Unter diesen Bedingungen hat jedes y derart, dass

c yy c
ist, durchaus die gleiche Eigenschaft wie c, wie leicht nach II auf zwei
Arten zu beweisen.

Zusatz 2 zu Th. 9). Nach Def. (2) existirt in Gestalt von 1 resp. 0
sicher mindestens ein c, welches den Voraussetzungen der Def. (5) genügt,
gleichwie auch in Gestalt von 0 resp. 1 mindestens ein x der daselbst
verlangten Art angebbar ist.

Anmerkung 1 zu Th. 9). Daneben mag es noch solche x geben,
für welche zwar

x cc x
ist, ohne dass jedoch zugleich
x a, x ba x, b x
wäre, und in der That wird in die Figur die Phantasie des Lesers mit
Leichtigkeit solche Flächen x einzeichnen.

Anmerkung 2 zu Th. 9). Sehr wichtig ist die Bemerkung:
Das Theorem 6) des vorigen Paragraphen folgt ebensogut aus der Def. (5),
wie aus der (3).

Denn für jedes x, für welches

x a nebst x ba x nebst b x
ist, gilt selbstverständlich doch
x aa x
-- im Grunde nach I, für Aussagen in Anspruch genommen, vergl.
Anmerkung zu I. Indem man also unter dem c der Def. (5) sich a
vorstellt, erkennt man, dass nach dieser
a b aa a + b
sein muss -- und ähnlich für b. --

Vergleichen wir die Formen (4) der Def. (3) und die Def. (5),
nämlich die beiden Theoreme 7) und 9) miteinander, so tritt eine
weitgehende Übereinstimmung derselben zutage.

Der Unterschied beider Theoreme besteht nämlich ganz allein
darin, dass die Zeile mit der Subsumtion

x cc x
und die Zeile mit den Subsumtionen
x a, x ba x, b x

Dritte Vorlesung.

Der Sinn auch dieser Erklärung mag durch eine Figur erläutert
werden, in welcher sich die vorausgesetzten Bedingungen hinsichtlich
der Gebiete a, b, c und wenigstens eines bestimmten x verwirklicht
zeigen (Fig. 8× u. Fig. 8+). Es bedeuten a, b, x Kreisflächen und c
das „Bilineum“, die von den zwei Kreisbogen begrenzte Fläche.

Zusatz 1 zu Th. 9). Unter diesen Bedingungen hat jedes y derart, dass

c ⋹ yy ⋹ c
ist, durchaus die gleiche Eigenschaft wie c, wie leicht nach II auf zwei
Arten zu beweisen.

Zusatz 2 zu Th. 9). Nach Def. (2) existirt in Gestalt von 1 resp. 0
sicher mindestens ein c, welches den Voraussetzungen der Def. (5) genügt,
gleichwie auch in Gestalt von 0 resp. 1 mindestens ein x der daselbst
verlangten Art angebbar ist.

Anmerkung 1 zu Th. 9). Daneben mag es noch solche x geben,
für welche zwar

x ⋹ cc ⋹ x
ist, ohne dass jedoch zugleich
x ⋹ a, x ⋹ ba ⋹ x, b ⋹ x
wäre, und in der That wird in die Figur die Phantasie des Lesers mit
Leichtigkeit solche Flächen x einzeichnen.

Anmerkung 2 zu Th. 9). Sehr wichtig ist die Bemerkung:
Das Theorem 6) des vorigen Paragraphen folgt ebensogut aus der Def. (5),
wie aus der (3).

Denn für jedes x, für welches

x ⋹ a nebst x ⋹ ba ⋹ x nebst b ⋹ x
ist, gilt selbstverständlich doch
x ⋹ aa ⋹ x
— im Grunde nach I, für Aussagen in Anspruch genommen, vergl.
Anmerkung zu I. Indem man also unter dem c der Def. (5) sich a
vorstellt, erkennt man, dass nach dieser
a b ⋹ aa ⋹ a + b
sein muss — und ähnlich für b. —

Vergleichen wir die Formen (4) der Def. (3) und die Def. (5),
nämlich die beiden Theoreme 7) und 9) miteinander, so tritt eine
weitgehende Übereinstimmung derselben zutage.

Der Unterschied beider Theoreme besteht nämlich ganz allein
darin, dass die Zeile mit der Subsumtion

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und die Zeile mit den Subsumtionen
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[206/0226] Dritte Vorlesung. Der Sinn auch dieser Erklärung mag durch eine Figur erläutert werden, in welcher sich die vorausgesetzten Bedingungen hinsichtlich der Gebiete a, b, c und wenigstens eines bestimmten x verwirklicht zeigen (Fig. 8× u. Fig. 8+). Es bedeuten a, b, x Kreisflächen und c das „Bilineum“, die von den zwei Kreisbogen begrenzte Fläche. Zusatz 1 zu Th. 9). Unter diesen Bedingungen hat jedes y derart, dass c ⋹ y y ⋹ c ist, durchaus die gleiche Eigenschaft wie c, wie leicht nach II auf zwei Arten zu beweisen. Zusatz 2 zu Th. 9). Nach Def. (2) existirt in Gestalt von 1 resp. 0 sicher mindestens ein c, welches den Voraussetzungen der Def. (5) genügt, gleichwie auch in Gestalt von 0 resp. 1 mindestens ein x der daselbst verlangten Art angebbar ist. Anmerkung 1 zu Th. 9). Daneben mag es noch solche x geben, für welche zwar x ⋹ c c ⋹ x ist, ohne dass jedoch zugleich x ⋹ a, x ⋹ b a ⋹ x, b ⋹ x wäre, und in der That wird in die Figur die Phantasie des Lesers mit Leichtigkeit solche Flächen x einzeichnen. Anmerkung 2 zu Th. 9). Sehr wichtig ist die Bemerkung: Das Theorem 6) des vorigen Paragraphen folgt ebensogut aus der Def. (5), wie aus der (3). Denn für jedes x, für welches x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x ist, gilt selbstverständlich doch x ⋹ a a ⋹ x — im Grunde nach I, für Aussagen in Anspruch genommen, vergl. Anmerkung zu I. Indem man also unter dem c der Def. (5) sich a vorstellt, erkennt man, dass nach dieser a b ⋹ a a ⋹ a + b sein muss — und ähnlich für b. — Vergleichen wir die Formen (4) der Def. (3) und die Def. (5), nämlich die beiden Theoreme 7) und 9) miteinander, so tritt eine weitgehende Übereinstimmung derselben zutage. Der Unterschied beider Theoreme besteht nämlich ganz allein darin, dass die Zeile mit der Subsumtion x ⋹ c c ⋹ x und die Zeile mit den Subsumtionen x ⋹ a, x ⋹ b a ⋹ x, b ⋹ x

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 206. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/226>, abgerufen am 23.11.2024.