Aus den zwei letzten Subsumtio- nen folgt nach (3x)': (a b) cb c,
Hienach haben wir, kraft (3+)': b + c (a + b) + c,
und hält man mit dem vorher- gehenden Ergebniss (a b) ca
und da oben bereits a (a + b) + c
dies letztere zusammen, so ergibt sich wiederum nach (3x)'
gefunden ist, folgt endlich nach (3+)', weiter:
(a b) ca (b c).
a + (b + c) (a + b) + c.
q. e. d.
Die vorstehenden Beweise der Assoziationsgesetze bilden meines Er- achtens eine der schönsten Leistungen des Herrn Peirce.
Exempel zu dem Satze. Die Gebildeten (a) unter den adeligen Grundbesitzern (b c) sind die gebildeten Adligen (a b) unter den Grund- besitzern (c).
Gebildete oder auch Adelige (a + b) nebst den Besitzenden (c) sind dieselbe Klasse von Personen, wie Gebildete (a) nebst den Adeligen oder auch Besitzenden (b + c).
Exemplifikationen zu 13+) sind in der Wortsprache nicht leicht aus- drucksvoll darzustellen, weil in dieser ja Klammern nicht verwendet werden und, wo sie doch der Deutlichkeit wegen erforderlich wären, deren mentale Ergänzung höchstens durch die Betonung nebst geeigneten Pausen, durch den Rythmus der Rede angedeutet zu werden vermag. Im vorliegenden Falle jedoch pflegt die Wortsprache -- ohnehin gerechtfertigt durch die Theoreme 13) selbst, vergl. die nachfolgenden Zusätze und Zusatzdefinitionen -- bei der additiven Vereinigung oder kollektiven Zusammenfassung von drei oder mehr Klassen dieselben stets unterschiedslos, eventuell durch Konjunktionen wie "und", "sowie", "oder" verknüpft hintereinander auf- zuzählen; sie pflegt die Theoreme 13) allgemein dahin zu verwerten, dass sie es sich erspart, sich schenkt, Ausdrucksformen für Unterschiede auf- zustellen, die ohnehin belanglos sind.
Zusatz 1) und Zusatzdefinition.
Die konsequente Ausdehnung der vorstehenden speziellen Kommu- tations- und Assoziationsgesetze zu den gleichnamigen allgemeinen Sätzen, welche sich auf beliebig viele Operationsglieder beziehen, ist nun geradeso, wie in der Arithmetik, zu leisten.
Es würde in diesen Prozess der Verallgemeinerung, hier wie dort, nur das Th. 16) noch mit hereinzuziehen sein.
Die verallgemeinerten Sätze lassen sich zu dem Ausspruche zu- sammenfassen, dass bei der Verknüpfung beliebig vieler Symbole durch lauter Multiplikationen resp. lauter Additionen die Reihenfolge oder "Ordnung" und die "Gruppirung" oder Zusammenfassung dieser Opera- tionsglieder gleichgültig ist, insbesondre also auch Klammern nach Belieben gesetzt oder unterdrückt werden dürfen.
Schröder, Algebra der Logik. 17
Aus den zwei letzten Subsumtio- nen folgt nach (3×)': (a b) c ⋹ b c,
Hienach haben wir, kraft (3+)': b + c ⋹ (a + b) + c,
und hält man mit dem vorher- gehenden Ergebniss (a b) c ⋹ a
und da oben bereits a ⋹ (a + b) + c
dies letztere zusammen, so ergibt sich wiederum nach (3×)'
gefunden ist, folgt endlich nach (3+)', weiter:
(a b) c ⋹ a (b c).
a + (b + c) ⋹ (a + b) + c.
q. e. d.
Die vorstehenden Beweise der Assoziationsgesetze bilden meines Er- achtens eine der schönsten Leistungen des Herrn Peirce.
Exempel zu dem Satze. Die Gebildeten (a) unter den adeligen Grundbesitzern (b c) sind die gebildeten Adligen (a b) unter den Grund- besitzern (c).
Gebildete oder auch Adelige (a + b) nebst den Besitzenden (c) sind dieselbe Klasse von Personen, wie Gebildete (a) nebst den Adeligen oder auch Besitzenden (b + c).
Exemplifikationen zu 13+) sind in der Wortsprache nicht leicht aus- drucksvoll darzustellen, weil in dieser ja Klammern nicht verwendet werden und, wo sie doch der Deutlichkeit wegen erforderlich wären, deren mentale Ergänzung höchstens durch die Betonung nebst geeigneten Pausen, durch den Rythmus der Rede angedeutet zu werden vermag. Im vorliegenden Falle jedoch pflegt die Wortsprache — ohnehin gerechtfertigt durch die Theoreme 13) selbst, vergl. die nachfolgenden Zusätze und Zusatzdefinitionen — bei der additiven Vereinigung oder kollektiven Zusammenfassung von drei oder mehr Klassen dieselben stets unterschiedslos, eventuell durch Konjunktionen wie „und“, „sowie“, „oder“ verknüpft hintereinander auf- zuzählen; sie pflegt die Theoreme 13) allgemein dahin zu verwerten, dass sie es sich erspart, sich schenkt, Ausdrucksformen für Unterschiede auf- zustellen, die ohnehin belanglos sind.
Zusatz 1) und Zusatzdefinition.
Die konsequente Ausdehnung der vorstehenden speziellen Kommu- tations- und Assoziationsgesetze zu den gleichnamigen allgemeinen Sätzen, welche sich auf beliebig viele Operationsglieder beziehen, ist nun geradeso, wie in der Arithmetik, zu leisten.
Es würde in diesen Prozess der Verallgemeinerung, hier wie dort, nur das Th. 16) noch mit hereinzuziehen sein.
Die verallgemeinerten Sätze lassen sich zu dem Ausspruche zu- sammenfassen, dass bei der Verknüpfung beliebig vieler Symbole durch lauter Multiplikationen resp. lauter Additionen die Reihenfolge oder „Ordnung“ und die „Gruppirung“ oder Zusammenfassung dieser Opera- tionsglieder gleichgültig ist, insbesondre also auch Klammern nach Belieben gesetzt oder unterdrückt werden dürfen.
Schröder, Algebra der Logik. 17
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§ 10. Reine Gesetze der Multiplikation resp. Addition.
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b + c ⋹ (a + b) + c,
und hält man mit dem vorher-
gehenden Ergebniss (a b) c ⋹ a und da oben bereits
a ⋹ (a + b) + c
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sich wiederum nach (3×)' gefunden ist, folgt endlich nach (3+)',
weiter:
(a b) c ⋹ a (b c). a + (b + c) ⋹ (a + b) + c.
q. e. d.
Die vorstehenden Beweise der Assoziationsgesetze bilden meines Er-
achtens eine der schönsten Leistungen des Herrn Peirce.
Exempel zu dem Satze. Die Gebildeten (a) unter den adeligen
Grundbesitzern (b c) sind die gebildeten Adligen (a b) unter den Grund-
besitzern (c).
Gebildete oder auch Adelige (a + b) nebst den Besitzenden (c) sind
dieselbe Klasse von Personen, wie Gebildete (a) nebst den Adeligen oder
auch Besitzenden (b + c).
Exemplifikationen zu 13+) sind in der Wortsprache nicht leicht aus-
drucksvoll darzustellen, weil in dieser ja Klammern nicht verwendet werden
und, wo sie doch der Deutlichkeit wegen erforderlich wären, deren mentale
Ergänzung höchstens durch die Betonung nebst geeigneten Pausen, durch
den Rythmus der Rede angedeutet zu werden vermag. Im vorliegenden
Falle jedoch pflegt die Wortsprache — ohnehin gerechtfertigt durch die
Theoreme 13) selbst, vergl. die nachfolgenden Zusätze und Zusatzdefinitionen
— bei der additiven Vereinigung oder kollektiven Zusammenfassung von
drei oder mehr Klassen dieselben stets unterschiedslos, eventuell durch
Konjunktionen wie „und“, „sowie“, „oder“ verknüpft hintereinander auf-
zuzählen; sie pflegt die Theoreme 13) allgemein dahin zu verwerten, dass
sie es sich erspart, sich schenkt, Ausdrucksformen für Unterschiede auf-
zustellen, die ohnehin belanglos sind.
Zusatz 1) und Zusatzdefinition.
Die konsequente Ausdehnung der vorstehenden speziellen Kommu-
tations- und Assoziationsgesetze zu den gleichnamigen allgemeinen
Sätzen, welche sich auf beliebig viele Operationsglieder beziehen, ist
nun geradeso, wie in der Arithmetik, zu leisten.
Es würde in diesen Prozess der Verallgemeinerung, hier wie dort,
nur das Th. 16) noch mit hereinzuziehen sein.
Die verallgemeinerten Sätze lassen sich zu dem Ausspruche zu-
sammenfassen, dass bei der Verknüpfung beliebig vieler Symbole durch
lauter Multiplikationen resp. lauter Additionen die Reihenfolge oder
„Ordnung“ und die „Gruppirung“ oder Zusammenfassung dieser Opera-
tionsglieder gleichgültig ist, insbesondre also auch Klammern nach
Belieben gesetzt oder unterdrückt werden dürfen.
Schröder, Algebra der Logik. 17
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 257. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/277>, abgerufen am 22.11.2024.
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