weiter nichts als eine Reihe von einander vielleicht durchweg verschiedener Gebiete oder Klassen vorstellen.
Die zweite Formel zeigt, dass der Zusammenhang, wie er zwischen Addition und Multiplikation in der Arithmetik besteht -- allerdings nur für den Fall eines positiven ganzzahligen Multiplikators, ein Zusammen- hang, der aber gerade die Multiplikation zur Operation der zweiten Stufe dort der Addition gegenüber stempelt -- hier im identischen Kalkul kein Analogon hat. Das Fehlen solchen Analogons zu der gedachten Gleichung der Arithmetik:
[Formel 1]
thut unsrer Bemerkung keinen Eintrag, dass die identischen Operationen sämtliche formalen Eigenschaften der gleichnamigen arithmetischen besässen. Denn eben weil diese Gleichung nicht allgemein, nicht im komplexen Zahlen- gebiete für ein ganz beliebiges n Sinn hat oder gültig ist, gehört sie nicht zu den "formalen" Eigenschaften -- im vollen Sinne dieses Wortes.
Während so von den wirklich formalen Eigenschaften der beiden direkten Operationen der arithmetischen vier Spezies im identischen Kalkul in der That keine fehlt, sehen wir hier noch die spezifischen Gesetze 14) als weitere Eigenschaften hinzutreten, und zu diesen werden ferner noch -- im Grunde als eine Folge derselben -- die beiden Theoreme 23) kommen. Wir müssen demnach die identischen Operationen der Multiplikation und Addition den arithmetischen gegen- über als die an formalen Eigenschaften reicheren hinstellen.
Zusatz 2 zu Th. 14). Wenn nun überhaupt in einem Produkte, einer Summe, Faktoren resp. Glieder wiederholt auftreten, sei es auch nicht durchweg als successive oder einander benachbarte, sondern viel- leicht getrennt durch noch andre Operationsglieder, so wird man prak- tisch von den Theoremen 14) Gebrauch machen im Sinne einer Ver- einfachung dieser Ausdrücke, indem man von jeder Sorte Faktoren resp. Summanden immer nur einen beibehält (etwa den ersten), die übrigen ihm identisch gleichen aber fallen lässt. So wird man z. B. für
a b c a a b d a c d c
a + b + c + a + a + b + d + a + c + d + c
in Hinkunft kürzer sagen
a b c d.
a + b + c + d.
Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen die Operationsglieder zunächst so umordnen, dass die übereinstimmenden zusammenkommen, alsdann kann man die Gruppen der letztern wegen der Assoziativität jener Operationen jeweils zu einem einzigen Opera- tionsgliede zusammenschliessen, und endlich sie nach Th. 16) -- auf
Fünfte Vorlesung.
weiter nichts als eine Reihe von einander vielleicht durchweg verschiedener Gebiete oder Klassen vorstellen.
Die zweite Formel zeigt, dass der Zusammenhang, wie er zwischen Addition und Multiplikation in der Arithmetik besteht — allerdings nur für den Fall eines positiven ganzzahligen Multiplikators, ein Zusammen- hang, der aber gerade die Multiplikation zur Operation der zweiten Stufe dort der Addition gegenüber stempelt — hier im identischen Kalkul kein Analogon hat. Das Fehlen solchen Analogons zu der gedachten Gleichung der Arithmetik:
[Formel 1]
thut unsrer Bemerkung keinen Eintrag, dass die identischen Operationen sämtliche formalen Eigenschaften der gleichnamigen arithmetischen besässen. Denn eben weil diese Gleichung nicht allgemein, nicht im komplexen Zahlen- gebiete für ein ganz beliebiges n Sinn hat oder gültig ist, gehört sie nicht zu den „formalen“ Eigenschaften — im vollen Sinne dieses Wortes.
Während so von den wirklich formalen Eigenschaften der beiden direkten Operationen der arithmetischen vier Spezies im identischen Kalkul in der That keine fehlt, sehen wir hier noch die spezifischen Gesetze 14) als weitere Eigenschaften hinzutreten, und zu diesen werden ferner noch — im Grunde als eine Folge derselben — die beiden Theoreme 23) kommen. Wir müssen demnach die identischen Operationen der Multiplikation und Addition den arithmetischen gegen- über als die an formalen Eigenschaften reicheren hinstellen.
Zusatz 2 zu Th. 14). Wenn nun überhaupt in einem Produkte, einer Summe, Faktoren resp. Glieder wiederholt auftreten, sei es auch nicht durchweg als successive oder einander benachbarte, sondern viel- leicht getrennt durch noch andre Operationsglieder, so wird man prak- tisch von den Theoremen 14) Gebrauch machen im Sinne einer Ver- einfachung dieser Ausdrücke, indem man von jeder Sorte Faktoren resp. Summanden immer nur einen beibehält (etwa den ersten), die übrigen ihm identisch gleichen aber fallen lässt. So wird man z. B. für
a b c a a b d a c d c
a + b + c + a + a + b + d + a + c + d + c
in Hinkunft kürzer sagen
a b c d.
a + b + c + d.
Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen die Operationsglieder zunächst so umordnen, dass die übereinstimmenden zusammenkommen, alsdann kann man die Gruppen der letztern wegen der Assoziativität jener Operationen jeweils zu einem einzigen Opera- tionsgliede zusammenschliessen, und endlich sie nach Th. 16) — auf
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Fünfte Vorlesung.
weiter nichts als eine Reihe von einander vielleicht durchweg verschiedener
Gebiete oder Klassen vorstellen.
Die zweite Formel zeigt, dass der Zusammenhang, wie er zwischen
Addition und Multiplikation in der Arithmetik besteht — allerdings nur
für den Fall eines positiven ganzzahligen Multiplikators, ein Zusammen-
hang, der aber gerade die Multiplikation zur Operation der zweiten Stufe
dort der Addition gegenüber stempelt — hier im identischen Kalkul kein
Analogon hat. Das Fehlen solchen Analogons zu der gedachten Gleichung
der Arithmetik:
[FORMEL] thut unsrer Bemerkung keinen Eintrag, dass die identischen Operationen
sämtliche formalen Eigenschaften der gleichnamigen arithmetischen besässen.
Denn eben weil diese Gleichung nicht allgemein, nicht im komplexen Zahlen-
gebiete für ein ganz beliebiges n Sinn hat oder gültig ist, gehört sie nicht
zu den „formalen“ Eigenschaften — im vollen Sinne dieses Wortes.
Während so von den wirklich formalen Eigenschaften der beiden
direkten Operationen der arithmetischen vier Spezies im identischen
Kalkul in der That keine fehlt, sehen wir hier noch die spezifischen
Gesetze 14) als weitere Eigenschaften hinzutreten, und zu diesen
werden ferner noch — im Grunde als eine Folge derselben — die
beiden Theoreme 23) kommen. Wir müssen demnach die identischen
Operationen der Multiplikation und Addition den arithmetischen gegen-
über als die an formalen Eigenschaften reicheren hinstellen.
Zusatz 2 zu Th. 14). Wenn nun überhaupt in einem Produkte,
einer Summe, Faktoren resp. Glieder wiederholt auftreten, sei es auch
nicht durchweg als successive oder einander benachbarte, sondern viel-
leicht getrennt durch noch andre Operationsglieder, so wird man prak-
tisch von den Theoremen 14) Gebrauch machen im Sinne einer Ver-
einfachung dieser Ausdrücke, indem man von jeder Sorte Faktoren
resp. Summanden immer nur einen beibehält (etwa den ersten), die
übrigen ihm identisch gleichen aber fallen lässt. So wird man
z. B. für
a b c a a b d a c d c a + b + c + a + a + b + d + a + c + d + c
in Hinkunft kürzer sagen
a b c d. a + b + c + d.
Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen die
Operationsglieder zunächst so umordnen, dass die übereinstimmenden
zusammenkommen, alsdann kann man die Gruppen der letztern wegen
der Assoziativität jener Operationen jeweils zu einem einzigen Opera-
tionsgliede zusammenschliessen, und endlich sie nach Th. 16) — auf
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 262. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/282>, abgerufen am 21.11.2024.
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