das wir vorverweisen müssen -- ersetzen durch den einfacheren Aus- druck, dem sie nach Th. 14) äquivalent sind. So wäre vorstehend:
(a a a a) (b b) (c c c) (d d)
(a + a + a + a) + (b + b) + (c + c + c) + (d + d)
als eine Zwischenstufe der Rechnung zu denken gewesen.
Den hier gegebenen Wink darf der Rechner nie aus den Augen verlieren.
Analog wird man für: "die leichtgläubigen, guten, leichtgläubigen Kinder" kürzer blos sagen: "die leichtgläubigen guten Kinder", und für: "Mohammedaner und Briten sowie Russen und Mohammedaner" blos sagen "Mohammedaner, Briten und Russen". --
Für das Th. 14x) gebrauchte Boole4 den mit Recht allerwärts als ungeeignet qualifizirten Namen des "law of duality", wofür Jevons1 den "law of simplicity" vorschlägt. Indem Boole eine Addition nur für ein- ander gegenseitig ausschliessende Summanden zuliess, konnte er auch nicht das Th. 14+) aufstellen oder zugeben. Von Neueren pflichtet ihm hierin nur Herr Venn1) noch bei, auf dessen Einwände wir in § 18, a) .. d) ausführlichst eingehen werden.
Das Th. 14+) ist zuerst von Jevons1) ausgesprochen, welchem auch bezüglich Gebrauchs der hier adoptirten Addition die Priorität zukommen dürfte, soweit sie nicht etwa von De Morgan anticipirt erscheint. Th. 14+) nennt Jevons das "law of unity", indem er darauf hinweist, dass die Nichtbeachtung des Satzes beim Zählen zu falschen Ergebnissen des Zählens führe. Eine schon einmal gezählte Einheit darf nicht wiederholt gezählt werden. Sind M', M'', M''', ... individuell verschiedene Münzen, z. B. Markstücke, so gäbe eine Zählung, wie M' + M'' + M'' + M''' + .. ein falsches Resultat; es muss beachtet werden, dass M' + M' weiter nichts ist, als M' etc.
Am geeignetsten würde mir die Bezeichnung der Theoreme 14) als "Tautologiegesetze" (der identischen Multiplikation resp. Addition) erscheinen, indem sie ausdrücken, dass es belanglos ist, das nämliche, was man bereits genannt hat, nochmals zu nennen, mag es mit simultanen oder unter alter- nativen Termen aufgeführt sein.
15x) Theorem.
15+) Theorem.
Wenn ab so ist acb c.
Wenn ab so ist a + cb + c.
Beweis. Nach 6x) ist a ca, wegen ab also, nach II: a cb. Ebenso ist nach 6x): a cc. Aus den beiden letzten Subsumtionen folgt aber nach (3x)':
Beweis. Nach 6+) ist bb + c, nach II also um so mehr: ab + c, und da ohnehin cb + c nach 6+) ist, so haben wir nach Def. (3+)' auch:
a cb c.
a + cb + c.
In einer Subsumtion darf man also beiderseits
mit demselben Symbol multipliziren
dasselbe Symbol addiren
§ 10. Reine Gesetze.
das wir vorverweisen müssen — ersetzen durch den einfacheren Aus- druck, dem sie nach Th. 14) äquivalent sind. So wäre vorstehend:
(a a a a) (b b) (c c c) (d d)
(a + a + a + a) + (b + b) + (c + c + c) + (d + d)
als eine Zwischenstufe der Rechnung zu denken gewesen.
Den hier gegebenen Wink darf der Rechner nie aus den Augen verlieren.
Analog wird man für: „die leichtgläubigen, guten, leichtgläubigen Kinder“ kürzer blos sagen: „die leichtgläubigen guten Kinder“, und für: „Mohammedaner und Briten sowie Russen und Mohammedaner“ blos sagen „Mohammedaner, Briten und Russen“. —
Für das Th. 14×) gebrauchte Boole4 den mit Recht allerwärts als ungeeignet qualifizirten Namen des „law of duality“, wofür Jevons1 den „law of simplicity“ vorschlägt. Indem Boole eine Addition nur für ein- ander gegenseitig ausschliessende Summanden zuliess, konnte er auch nicht das Th. 14+) aufstellen oder zugeben. Von Neueren pflichtet ihm hierin nur Herr Venn1) noch bei, auf dessen Einwände wir in § 18, α) ‥ δ) ausführlichst eingehen werden.
Das Th. 14+) ist zuerst von Jevons1) ausgesprochen, welchem auch bezüglich Gebrauchs der hier adoptirten Addition die Priorität zukommen dürfte, soweit sie nicht etwa von De Morgan anticipirt erscheint. Th. 14+) nennt Jevons das „law of unity“, indem er darauf hinweist, dass die Nichtbeachtung des Satzes beim Zählen zu falschen Ergebnissen des Zählens führe. Eine schon einmal gezählte Einheit darf nicht wiederholt gezählt werden. Sind M', M'', M''', … individuell verschiedene Münzen, z. B. Markstücke, so gäbe eine Zählung, wie M' + M'' + M'' + M''' + ‥ ein falsches Resultat; es muss beachtet werden, dass M' + M' weiter nichts ist, als M' etc.
Am geeignetsten würde mir die Bezeichnung der Theoreme 14) als „Tautologiegesetze“ (der identischen Multiplikation resp. Addition) erscheinen, indem sie ausdrücken, dass es belanglos ist, das nämliche, was man bereits genannt hat, nochmals zu nennen, mag es mit simultanen oder unter alter- nativen Termen aufgeführt sein.
15×) Theorem.
15+) Theorem.
Wenn a ⋹ b so ist ac ⋹ b c.
Wenn a ⋹ b so ist a + c ⋹ b + c.
Beweis. Nach 6×) ist a c ⋹ a, wegen a ⋹ b also, nach II: a c ⋹ b. Ebenso ist nach 6×): a c ⋹ c. Aus den beiden letzten Subsumtionen folgt aber nach (3×)':
Beweis. Nach 6+) ist b ⋹ b + c, nach II also um so mehr: a ⋹ b + c, und da ohnehin c ⋹ b + c nach 6+) ist, so haben wir nach Def. (3+)' auch:
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§ 10. Reine Gesetze.
das wir vorverweisen müssen — ersetzen durch den einfacheren Aus-
druck, dem sie nach Th. 14) äquivalent sind. So wäre vorstehend:
(a a a a) (b b) (c c c) (d d) (a + a + a + a) + (b + b) + (c + c + c) + (d + d)
als eine Zwischenstufe der Rechnung zu denken gewesen.
Den hier gegebenen Wink darf der Rechner nie aus den Augen
verlieren.
Analog wird man für: „die leichtgläubigen, guten, leichtgläubigen
Kinder“ kürzer blos sagen: „die leichtgläubigen guten Kinder“, und für:
„Mohammedaner und Briten sowie Russen und Mohammedaner“ blos sagen
„Mohammedaner, Briten und Russen“. —
Für das Th. 14×) gebrauchte Boole4 den mit Recht allerwärts als
ungeeignet qualifizirten Namen des „law of duality“, wofür Jevons1 den
„law of simplicity“ vorschlägt. Indem Boole eine Addition nur für ein-
ander gegenseitig ausschliessende Summanden zuliess, konnte er auch nicht
das Th. 14+) aufstellen oder zugeben. Von Neueren pflichtet ihm hierin
nur Herr Venn1) noch bei, auf dessen Einwände wir in § 18, α) ‥ δ)
ausführlichst eingehen werden.
Das Th. 14+) ist zuerst von Jevons1) ausgesprochen, welchem auch
bezüglich Gebrauchs der hier adoptirten Addition die Priorität zukommen
dürfte, soweit sie nicht etwa von De Morgan anticipirt erscheint. Th. 14+)
nennt Jevons das „law of unity“, indem er darauf hinweist, dass die
Nichtbeachtung des Satzes beim Zählen zu falschen Ergebnissen des Zählens
führe. Eine schon einmal gezählte Einheit darf nicht wiederholt gezählt
werden. Sind M', M'', M''', … individuell verschiedene Münzen, z. B.
Markstücke, so gäbe eine Zählung, wie M' + M'' + M'' + M''' + ‥ ein
falsches Resultat; es muss beachtet werden, dass M' + M' weiter nichts
ist, als M' etc.
Am geeignetsten würde mir die Bezeichnung der Theoreme 14) als
„Tautologiegesetze“ (der identischen Multiplikation resp. Addition) erscheinen,
indem sie ausdrücken, dass es belanglos ist, das nämliche, was man bereits
genannt hat, nochmals zu nennen, mag es mit simultanen oder unter alter-
nativen Termen aufgeführt sein.
15×) Theorem. 15+) Theorem.
Wenn a ⋹ b so ist ac ⋹ b c. Wenn a ⋹ b so ist a + c ⋹ b + c.
Beweis. Nach 6×) ist a c ⋹ a,
wegen a ⋹ b also, nach II: a c ⋹ b.
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den beiden letzten Subsumtionen
folgt aber nach (3×)': Beweis. Nach 6+) ist b ⋹ b + c,
nach II also um so mehr: a ⋹ b + c,
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ist, so haben wir nach Def. (3+)'
auch:
a c ⋹ b c. a + c ⋹ b + c.
In einer Subsumtion darf man also beiderseits
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 263. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/283>, abgerufen am 22.11.2024.
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