sowie umgekehrt -- deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.
p) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen: a = b c1 + b1c, a1 = b c + b1c1 b = c a1 + c1a, b1 = c a + c1a1 c = a b1 + a1b, c1 = a b + a1b1 hat jede die fünf übrigen zur Folge; dieselben sind alle sechse einander äquivalent.
Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
Auflösung. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36) gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links auf einander zurückzuführen.
Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1, a1c = b c überschiebend addirt. Etc.
Am besten bringt man gemäss Th. 39+) die erste dieser Gleichungen rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit a (b c1 + b1c)1 + a1 (b c1 + b1c) = 0 oder, wegen (b c1 + b1c)1 = b c + b1c1, mit: a b c + a b1c1 + b c1a1 + c a1b1 = 0.
Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen- hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag demnach z. B. die Buchstaben a, b, c "cyklisch" -- im Ringe herum -- vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er- setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18 (S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
In Worten kann man sagen: Wenn a bedeutet "b oder aber c", so muss auch b einerlei sein mit "a oder aber c", und c mit "a oder aber b".
Exempel zu dem Satze. Es möge a die Klasse der gesetzlich
so ist: a c1 ⋹ b1
so ist: b1 ⋹ c + a1
sowie umgekehrt — deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.
π) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen: a = b c1 + b1c, a1 = b c + b1c1 b = c a1 + c1a, b1 = c a + c1a1 c = a b1 + a1b, c1 = a b + a1b1 hat jede die fünf übrigen zur Folge; dieselben sind alle sechse einander äquivalent.
Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
Auflösung. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36) gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links auf einander zurückzuführen.
Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1, a1c = b c überschiebend addirt. Etc.
Am besten bringt man gemäss Th. 39+) die erste dieser Gleichungen rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit a (b c1 + b1c)1 + a1 (b c1 + b1c) = 0 oder, wegen (b c1 + b1c)1 = b c + b1c1, mit: a b c + a b1c1 + b c1a1 + c a1b1 = 0.
Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen- hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag demnach z. B. die Buchstaben a, b, c „cyklisch“ — im Ringe herum — vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er- setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18 (S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
In Worten kann man sagen: Wenn a bedeutet „b oder aber c“, so muss auch b einerlei sein mit „a oder aber c“, und c mit „a oder aber b“.
Exempel zu dem Satze. Es möge a die Klasse der gesetzlich
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><table><pbfacs="#f0400"n="380"/><fwplace="top"type="header">Neunte Vorlesung.</fw><lb/><row><cell><hirendition="#i">so ist: a c</hi><hirendition="#sub">1</hi>⋹<hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi></cell><cell><hirendition="#i">so ist: b</hi><hirendition="#sub">1</hi>⋹<hirendition="#i">c</hi> + <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi></cell></row><lb/></table><hirendition="#i">sowie umgekehrt</hi>— deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.</p><lb/><p><hirendition="#i">π</hi>) <hirendition="#g">Theorem</hi> (von <hirendition="#g">Jevons</hi><hirendition="#sup">1</hi> p. 61). <hirendition="#i">Von den sechs Gleichungen:</hi><lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi>, <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi> = <hirendition="#i">b c</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi><lb/><hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">c a</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">a</hi>, <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi> = <hirendition="#i">c a</hi> + <hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi><lb/><hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">a b</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi> = <hirendition="#i">a b</hi> + <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi></hi><lb/><hirendition="#i">hat jede die fünf übrigen zur Folge;</hi> dieselben sind alle sechse einander<lb/>
äquivalent.</p><lb/><p><hirendition="#g">Aufgabe</hi>: das Theorem zu beweisen.</p><lb/><p><hirendition="#g">Auflösung</hi>. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36)<lb/>
gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es<lb/>
handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links<lb/>
auf einander zurückzuführen.</p><lb/><p>Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen<lb/>
mit <hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi> resp. <hirendition="#i">c</hi> beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse <hirendition="#i">a c</hi><hirendition="#sub">1</hi> = <hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi>,<lb/><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">b c</hi> überschiebend addirt. Etc.</p><lb/><p>Am besten bringt man gemäss Th. 39<hirendition="#sub">+</hi>) die erste dieser Gleichungen<lb/>
rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a</hi> (<hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi>)<hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi> (<hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi>) = 0</hi><lb/>
oder, wegen<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi>)<hirendition="#sub">1</hi> = <hirendition="#i">b c</hi> + <hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
mit:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a b c</hi> + <hirendition="#i">a b</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">c</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">b c</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">1</hi> + <hirendition="#i">c a</hi><hirendition="#sub">1</hi><hirendition="#i">b</hi><hirendition="#sub">1</hi> = 0.</hi></p><lb/><p>Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen-<lb/>
hang zwischen den Symbolen <hirendition="#i">a</hi>, <hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">c</hi> in Bezug auf diese symmetrisch<lb/>
ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag<lb/>
demnach z. B. die Buchstaben <hirendition="#i">a</hi>, <hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">c</hi>„cyklisch“— im Ringe herum<lb/>— vertauschen, d. h. <hirendition="#i">a</hi> durch <hirendition="#i">b</hi>, daneben <hirendition="#i">b</hi> durch <hirendition="#i">c</hi> und <hirendition="#i">c</hi> durch <hirendition="#i">a</hi> er-<lb/>
setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus<lb/>
dieser die fünfte erhalten.</p><lb/><p>Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die<lb/>
daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung<lb/>
des Satzes geführt haben.</p><lb/><p>Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18<lb/>
(S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit <hirendition="#i">c</hi> bezeichnet.</p><lb/><p>In Worten kann man sagen: <hirendition="#i">Wenn a bedeutet</hi>„<hirendition="#i">b oder aber c</hi>“, <hirendition="#i">so<lb/>
muss auch b einerlei sein mit</hi>„<hirendition="#i">a oder aber c</hi>“, <hirendition="#i">und c mit</hi>„<hirendition="#i">a oder aber b</hi>“.</p><lb/><p><hirendition="#g">Exempel</hi> zu dem Satze. Es möge <hirendition="#i">a</hi> die Klasse der gesetzlich<lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[380/0400]
Neunte Vorlesung.
so ist: a c1 ⋹ b1 so ist: b1 ⋹ c + a1
sowie umgekehrt — deren Beweis und Deutung dem Leser überlassen sei.
π) Theorem (von Jevons1 p. 61). Von den sechs Gleichungen:
a = b c1 + b1 c, a1 = b c + b1 c1
b = c a1 + c1 a, b1 = c a + c1 a1
c = a b1 + a1 b, c1 = a b + a1 b1
hat jede die fünf übrigen zur Folge; dieselben sind alle sechse einander
äquivalent.
Aufgabe: das Theorem zu beweisen.
Auflösung. Durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) und 36)
gehen die beiden Gleichungen einer jeden Zeile in einander über. Es
handelt sich also nur noch darum, die untereinander stehenden links
auf einander zurückzuführen.
Dies kann geschehen, indem man die beiden ersten Gleichungen
mit c1 resp. c beiderseits multiplizirt und die Ergebnisse a c1 = b c1,
a1 c = b c überschiebend addirt. Etc.
Am besten bringt man gemäss Th. 39+) die erste dieser Gleichungen
rechterhand auf Null. Dieselbe erweist darnach sich äquivalent mit
a (b c1 + b1 c)1 + a1 (b c1 + b1 c) = 0
oder, wegen
(b c1 + b1 c)1 = b c + b1 c1,
mit:
a b c + a b1 c1 + b c1 a1 + c a1 b1 = 0.
Hieraus ist aber zu ersehen, dass der vorausgesetzte Zusammen-
hang zwischen den Symbolen a, b, c in Bezug auf diese symmetrisch
ist, durch Vertauschung derselben nicht verändert wird. Man mag
demnach z. B. die Buchstaben a, b, c „cyklisch“ — im Ringe herum
— vertauschen, d. h. a durch b, daneben b durch c und c durch a er-
setzen; dadurch wird man aus jener ersten Formel die dritte und aus
dieser die fünfte erhalten.
Das behufs Beweises vorstehend eingeschlagene Verfahren und die
daran geknüpfte Wahrnehmung mochte ungezwungen zur Entdeckung
des Satzes geführt haben.
Man verifizire den Satz auch durch die Anschauung an der Fig. 18
(S. 371), indem man das dort schraffirte Gebiet mit c bezeichnet.
In Worten kann man sagen: Wenn a bedeutet „b oder aber c“, so
muss auch b einerlei sein mit „a oder aber c“, und c mit „a oder aber b“.
Exempel zu dem Satze. Es möge a die Klasse der gesetzlich
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 380. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/400>, abgerufen am 21.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
