Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

u) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen-
stellung einer Anzahl rein rechnerischer Übungen willkommen sein, die
wir in mehrere Gruppen verteilen.

Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge-
gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar-
stellen, dass wir den "gegebenen" und den resultirenden vereinfachten
Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den "gesuchten" Ausdruck,
ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es
sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich
gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen
Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen.

Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu
sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als
Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End-
ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des
identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer
beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher
Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge-
leistet werden.

Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be-
quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die
wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti-
pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz,
die Theoreme 30), und Zusatz zu 33+), etc. beständig vor Augen haben.

Als Theorem ph) stellen wir die Formel voran:
ph) (a + b) (b + c) (c + a) = a b + b c + c a,
welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie vollkommen zu sich
selbst dual ist.

Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden:
a (b + c) + b c = (a + b c) (b + c)
und lässt sich analog in der Form:
a (b + c + d ..) + b c d .. = (a + b c d ..) (b + c + d ..)
auch auf beliebig viele Terme a, b, c, d, .. ausdehnen, wo sie dann noch
zu sich selbst dual, aber nicht mehr -- wie bei dreien -- in Bezug
auf alle diese Terme symmetrisch ist.

Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich
selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als:
(a + b c) (b + a c) (c + a b) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b),

υ) Dem Anfänger, wie dem Dozenten wird auch die Zusammen-
stellung einer Anzahl rein rechnerischer Übungen willkommen sein, die
wir in mehrere Gruppen verteilen.

Die Aufgaben zielen zumeist auf die Vereinfachung eines ge-
gebenen Ausdruckes hin, und werden wir sie alsdann dadurch dar-
stellen, dass wir den „gegebenen“ und den resultirenden vereinfachten
Ausdruck, der zu entdecken gewesen, d. i. den „gesuchten“ Ausdruck,
ohne weiteres einander gleich setzen. In andern Fällen handelt es
sich von vornherein nur um den Nachweis der Identität einander gleich
gesetzter Ausdrücke; in manchen auch darum, aus einer gegebenen
Voraussetzung rechnerisch eine angegebene Folgerung zu ziehen.

Allemal machen die Angaben den Anspruch, allgemeingültig zu
sein bei beliebiger Deutung der vorkommenden Buchstabensymbole als
Gebiete oder als Klassen. Jede so ein Problem nebst seinem End-
ergebniss statuirende Angabe bringt mithin ein eigenes Theorem des
identischen Kalkuls zum Ausdruck. Natürlich muss jedoch bei unsrer
beabsichtigten mehr nur miscellenhaften Zusammenstellung solcher
Theoreme auf strenge Systematik und Vollständigkeit Verzicht ge-
leistet werden.

Nur gelegentlich geben wir auch eine Andeutung über die be-
quemste Art der Lösung, und muss der Leser resp. Löser eben die
wichtigsten Sätze des Kalkuls, vor allem die Regeln für's Ausmulti-
pliziren und Ausscheiden, das Tautologie- und das Absorptionsgesetz,
die Theoreme 30), und Zusatz zu 33+), etc. beständig vor Augen haben.

Als Theorem φ) stellen wir die Formel voran:
φ) (a + b) (b + c) (c + a) = a b + b c + c a,
welche dadurch bemerkenswert erscheint, dass sie vollkommen zu sich
selbst dual ist.

Dieselbe kann auch in der Gestalt geschrieben werden:
a (b + c) + b c = (a + b c) (b + c)
und lässt sich analog in der Form:
a (b + c + d ‥) + b c d ‥ = (a + b c d ‥) (b + c + d ‥)
auch auf beliebig viele Terme a, b, c, d, ‥ ausdehnen, wo sie dann noch
zu sich selbst dual, aber nicht mehr — wie bei dreien — in Bezug
auf alle diese Terme symmetrisch ist.

Für drei Symbole kann man dem Satze auch noch andere zu sich
selbst duale Formen geben, und zwar symmetrisch als:
(a + b c) (b + a c) (c + a b) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b),