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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Neunte Vorlesung.

Theorem r). Wenn a = b ist, so muss auch a + b a b sein,
und umgekehrt, sodass die Gleichung mit der Subsumtion äquivalent.

In Worten: Wenn alles, was a oder b ist, auch a und b sein muss,
so sind a und b identisch, einerlei -- und vice versan.

Dies zu beweisen kann als eine leichte Übungsaufgabe für An-
fänger empfohlen werden. Doch sei deren Lösung hier angegeben:

Wenn a = b ist, so wird
a + b = a + a = a und a b = a a = a,
somit läuft die behauptete Subsumtion hinaus auf die durch das Prin-
zip I verbürgte a a. Die Gleichung zog mithin die Subsumtion
nach sich.

Ist umgekehrt a + b a b, so können wir nach Th. 6+), der Vor-
aussetzung und Th. 6x) den Kettenschluss ausführen:
a a + b, a + b a b, a b b, ergo a b,
und ebenso zeigt man, was überdies nach der Symmetrie schon folgt,
dass auch b a, womit nach Def. (1) dann die Gleichung a = b be-
wiesen erscheint. Die Subsumtion hat also auch die Gleichung zur
Folge, q. e. d.

Ein anderer Beweis ist ganz mechanisch führbar, indem man Sub-
sumtion wie Gleichung gemäss den Theoremen 38x) und 39) rechter-
hand auf 0 bringt.

s) Aufgabe. Man zeige, dass wenn
a b1 c1 und b c = 0
ist, auch
b c1 a1 und c a = 0
sowie
c a1 b1 und a b = 0
sein muss.

Gilt z. B.: ein Fisch ist weder Vogel noch Säugetier, während kein
Vogel ein Säugetier ist, so haben wir auch die Folgerungen: ein Vogel
ist weder Fisch noch Säugetier, und kein Säugetier ist ein Fisch, sowie:
ein Säugetier ist weder Fisch noch Vogel, desgleichen kein Fisch ein Vogel.

t) Ebenso zeige man, dass wenn gleichzeitig:
a b c1 + b1 c, b c a1 + c1 a, c a b1 + a1 b
ist, dann diese Subsumtionen als Gleichungen gelten müssen, nämlich
a = b c1 + b1 c, etc.
sein wird.

Ausführung -- gleichwie bei s) -- dem Leser überlassen --
vergl. p).

Neunte Vorlesung.

Theorem ϱ). Wenn a = b ist, so muss auch a + b ⋹ a b sein,
und umgekehrt, sodass die Gleichung mit der Subsumtion äquivalent.

In Worten: Wenn alles, was a oder b ist, auch a und b sein muss,
so sind a und b identisch, einerlei — und vice versā.

Dies zu beweisen kann als eine leichte Übungsaufgabe für An-
fänger empfohlen werden. Doch sei deren Lösung hier angegeben:

Wenn a = b ist, so wird
a + b = a + a = a und a b = a a = a,
somit läuft die behauptete Subsumtion hinaus auf die durch das Prin-
zip I verbürgte a ⋹ a. Die Gleichung zog mithin die Subsumtion
nach sich.

Ist umgekehrt a + b ⋹ a b, so können wir nach Th. 6+), der Vor-
aussetzung und Th. 6×) den Kettenschluss ausführen:
a ⋹ a + b, a + b ⋹ a b, a b ⋹ b, ergo a ⋹ b,
und ebenso zeigt man, was überdies nach der Symmetrie schon folgt,
dass auch b ⋹ a, womit nach Def. (1) dann die Gleichung a = b be-
wiesen erscheint. Die Subsumtion hat also auch die Gleichung zur
Folge, q. e. d.

Ein anderer Beweis ist ganz mechanisch führbar, indem man Sub-
sumtion wie Gleichung gemäss den Theoremen 38×) und 39) rechter-
hand auf 0 bringt.

σ) Aufgabe. Man zeige, dass wenn
a ⋹ b1 c1 und b c = 0
ist, auch
b ⋹ c1 a1 und c a = 0
sowie
c ⋹ a1 b1 und a b = 0
sein muss.

Gilt z. B.: ein Fisch ist weder Vogel noch Säugetier, während kein
Vogel ein Säugetier ist, so haben wir auch die Folgerungen: ein Vogel
ist weder Fisch noch Säugetier, und kein Säugetier ist ein Fisch, sowie:
ein Säugetier ist weder Fisch noch Vogel, desgleichen kein Fisch ein Vogel.

τ) Ebenso zeige man, dass wenn gleichzeitig:
a ⋹ b c1 + b1 c, b ⋹ c a1 + c1 a, c ⋹ a b1 + a1 b
ist, dann diese Subsumtionen als Gleichungen gelten müssen, nämlich
a = b c1 + b1 c, etc.
sein wird.

Ausführung — gleichwie bei σ) — dem Leser überlassen —
vergl. π).

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[382/0402] Neunte Vorlesung. Theorem ϱ). Wenn a = b ist, so muss auch a + b ⋹ a b sein, und umgekehrt, sodass die Gleichung mit der Subsumtion äquivalent. In Worten: Wenn alles, was a oder b ist, auch a und b sein muss, so sind a und b identisch, einerlei — und vice versā. Dies zu beweisen kann als eine leichte Übungsaufgabe für An- fänger empfohlen werden. Doch sei deren Lösung hier angegeben: Wenn a = b ist, so wird a + b = a + a = a und a b = a a = a, somit läuft die behauptete Subsumtion hinaus auf die durch das Prin- zip I verbürgte a ⋹ a. Die Gleichung zog mithin die Subsumtion nach sich. Ist umgekehrt a + b ⋹ a b, so können wir nach Th. 6+), der Vor- aussetzung und Th. 6×) den Kettenschluss ausführen: a ⋹ a + b, a + b ⋹ a b, a b ⋹ b, ergo a ⋹ b, und ebenso zeigt man, was überdies nach der Symmetrie schon folgt, dass auch b ⋹ a, womit nach Def. (1) dann die Gleichung a = b be- wiesen erscheint. Die Subsumtion hat also auch die Gleichung zur Folge, q. e. d. Ein anderer Beweis ist ganz mechanisch führbar, indem man Sub- sumtion wie Gleichung gemäss den Theoremen 38×) und 39) rechter- hand auf 0 bringt. σ) Aufgabe. Man zeige, dass wenn a ⋹ b1 c1 und b c = 0 ist, auch b ⋹ c1 a1 und c a = 0 sowie c ⋹ a1 b1 und a b = 0 sein muss. Gilt z. B.: ein Fisch ist weder Vogel noch Säugetier, während kein Vogel ein Säugetier ist, so haben wir auch die Folgerungen: ein Vogel ist weder Fisch noch Säugetier, und kein Säugetier ist ein Fisch, sowie: ein Säugetier ist weder Fisch noch Vogel, desgleichen kein Fisch ein Vogel. τ) Ebenso zeige man, dass wenn gleichzeitig: a ⋹ b c1 + b1 c, b ⋹ c a1 + c1 a, c ⋹ a b1 + a1 b ist, dann diese Subsumtionen als Gleichungen gelten müssen, nämlich a = b c1 + b1 c, etc. sein wird. Ausführung — gleichwie bei σ) — dem Leser überlassen — vergl. π).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 382. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/402>, abgerufen am 22.11.2024.