Beweis. Von den Prämissen ab + c + d, a b = 0, a c = 0 kann man die erste nach Th. 20) schreiben: a = a (b + c + d) = a b + a c + a d, was sich mit Rücksicht auf die folgenden vereinfacht zu: a = a d oder ad.
l1) Gesetzt: Jedes a ist b, c oder d; jedes b ist e, jedes c ist e, jedes e ist d. So folgere man: jedes a ist d. (De Morgan2 p. 123.) Prämissen: ab + c + d, be, ce, ed. Ergo: bd, cd, cd, b + cd, und da ohnehin dd, so ist auch b + c + dd, woraus in Verbin- dung mit der ersten Prämisse a fortiori folgt: ad. --
m1) Angenommen: Jedes a ist b, jedes c ist d aber kein b ist d. Zu beweisen, dass auch kein a ein c sein wird. (De Morgan2 p. 123.) Prämissen: ab, cd, b d = 0. Aus den ersten beiden folgt nach Th. 15x): a cb d, sonach a c 0, was auf a c = 0 nach Th. 5) hinausläuft. --
n1) Man vereinfache die Aussage: (c + a) b1 + a c = (a + b) c1 + a b.
Auflösung. Bringt man rechts auf 0, so entsteht: b c1 + b1c = 0, das heisst: b = c.
x1) Ist x = a x + b x1, so soll bewiesen werden, dass b x1 = 0 sein muss.
Am einfachsten geschieht dies mittelst Durchmultiplizirens der Prä- misse mit x1.
o1) Wenn a = a b + x (a + b), so ist b = a b + x1 (a + b), und um- gekehrt. Dies zu beweisen, wird man beide Gleichungen rechts auf 0 bringen, wodurch sich a1b x + a b1x1 = 0 übereinstimmend ergibt.
p1) (Jevons9, p. 239.) Zu zeigen, dass die Aussage: "Alle a sind sowol b als c" äquivalent ist dem Systeme der beiden Aussagen: "Was nicht b ist, ist auch nicht a" und "Was nicht c ist, ist nicht a", mithin
§ 18. Aufgaben und Anwendungen.
Beweis. Von den Prämissen a ⋹ b + c + d, a b = 0, a c = 0 kann man die erste nach Th. 20) schreiben: a = a (b + c + d) = a b + a c + a d, was sich mit Rücksicht auf die folgenden vereinfacht zu: a = a d oder a ⋹ d.
λ1) Gesetzt: Jedes a ist b, c oder d; jedes b ist e, jedes c ist e, jedes e ist d. So folgere man: jedes a ist d. (De Morgan2 p. 123.) Prämissen: a ⋹ b + c + d, b ⋹ e, c ⋹ e, e ⋹ d. Ergo: b ⋹ d, c ⋹ d, c ⋹ d, b + c ⋹ d, und da ohnehin d ⋹ d, so ist auch b + c + d ⋹ d, woraus in Verbin- dung mit der ersten Prämisse a fortiori folgt: a ⋹ d. —
μ1) Angenommen: Jedes a ist b, jedes c ist d aber kein b ist d. Zu beweisen, dass auch kein a ein c sein wird. (De Morgan2 p. 123.) Prämissen: a ⋹ b, c ⋹ d, b d = 0. Aus den ersten beiden folgt nach Th. 15×): a c ⋹ b d, sonach a c ⋹ 0, was auf a c = 0 nach Th. 5) hinausläuft. —
ν1) Man vereinfache die Aussage: (c + a) b1 + a c = (a + b) c1 + a b.
Auflösung. Bringt man rechts auf 0, so entsteht: b c1 + b1c = 0, das heisst: b = c.
ξ1) Ist x = a x + b x1, so soll bewiesen werden, dass b x1 = 0 sein muss.
Am einfachsten geschieht dies mittelst Durchmultiplizirens der Prä- misse mit x1.
ο1) Wenn a = a b + x (a + b), so ist b = a b + x1 (a + b), und um- gekehrt. Dies zu beweisen, wird man beide Gleichungen rechts auf 0 bringen, wodurch sich a1b x + a b1x1 = 0 übereinstimmend ergibt.
π1) (Jevons9, p. 239.) Zu zeigen, dass die Aussage: „Alle a sind sowol b als c“ äquivalent ist dem Systeme der beiden Aussagen: „Was nicht b ist, ist auch nicht a“ und „Was nicht c ist, ist nicht a“, mithin
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§ 18. Aufgaben und Anwendungen.
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a ⋹ b + c + d, a b = 0, a c = 0
kann man die erste nach Th. 20) schreiben:
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Prämissen: a ⋹ b + c + d, b ⋹ e, c ⋹ e, e ⋹ d.
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μ1) Angenommen: Jedes a ist b, jedes c ist d aber kein b ist d.
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ο1) Wenn a = a b + x (a + b), so ist b = a b + x1 (a + b), und um-
gekehrt. Dies zu beweisen, wird man beide Gleichungen rechts auf 0
bringen, wodurch sich a1 b x + a b1 x1 = 0 übereinstimmend ergibt.
π1) (Jevons9, p. 239.) Zu zeigen, dass die Aussage: „Alle a sind
sowol b als c“ äquivalent ist dem Systeme der beiden Aussagen: „Was
nicht b ist, ist auch nicht a“ und „Was nicht c ist, ist nicht a“, mithin
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 391. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/411>, abgerufen am 22.11.2024.
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