schreibenden Gleichungen 43x) und 43+) als gleichzeitig geltende in's Auge fasst, können u und v nicht völlig unabhängig von einander angenommen werden. Vielmehr, wenn eines von diesen beiden Gebieten (eventuell im Einklang mit den für dasselbe angeführten Bestimmungen) festgelegt, ge- geben oder irgendwie angenommen ist, muss das andre die Form haben:
u = a + s v1,
v = b (u1 + t),
wo nur mehr s, resp. t willkürlich bleibt.
Auch dieses nachzuweisen ist weiter nichts, als eine hier vorgreifend angeführte und als Übungsexempel zu empfehlende Anwendung des weiter unten vorgetragenen Theorems 50+). Zur Erleichterung von deren Lösung und um auf dieselbe nicht mehr zurückkommen zu müssen, führen wir hier nur noch an, dass u resp. v die Gleichung erfüllen muss:
u a1v + u1a = 0
v b1 + v1b u1 = 0
welche sich ergibt, indem man den Wert von b oder a aus der einen von den beiden Gleichungen 43) in die andre substituirt und dann rechts auf 0 bringt, kurz indem man eines der Symbole a, b aus den Gleichungen 43) eliminirt.
Beispielsweise kann die nach Def. (2) geltende Subsumtion:
0 b
a 1
nach Th. 43) umgeschrieben werden in eine Gleichung:
0 = u b.
1 = a + v.
Doch sind alsdann u und v augenscheinlich nicht vollkommen willkürlich und andrerseits sind sie auch nicht vollkommen bestimmt. Es gelten die Gleichungen (wenn b nicht selbst 0 resp. a nicht selbst 1 ist) nicht für alle, sondern nur für gewisse Gebiete u, v, aber doch für unendlich viele; es muss nämlich u, v von der Form sein:
u = w b1,
v = a1 + r,
wo w und r arbiträr bleiben. In der That lag hier ein Fall vor, wo a = 0 resp. b = 1 völlig bestimmt war, wo es "gegeben" erscheint.
Anmerkung 2. Wir wollen jetzt im Überblick die zwölf Arten zusammenstellen, auf welche nach den bisherigen Sätzen eine Subsum- tion ab in Gestalt einer einzigen Beziehung (zumeist Gleichung) angeschrieben werden kann. Die folgenden Aussagen sind einander äquivalent: ab und nach 37): b1a1; nach 20): a = a b, b = a + b, woraus nach 32) und 36) auch folgt: a1 = a1 + b1, b1 = a1b1; nach 38): a b1 = 0, a1 + b = 1;
Zehnte Vorlesung.
schreibenden Gleichungen 43×) und 43+) als gleichzeitig geltende in's Auge fasst, können u und v nicht völlig unabhängig von einander angenommen werden. Vielmehr, wenn eines von diesen beiden Gebieten (eventuell im Einklang mit den für dasselbe angeführten Bestimmungen) festgelegt, ge- geben oder irgendwie angenommen ist, muss das andre die Form haben:
u = a + s v1,
v = b (u1 + t),
wo nur mehr s, resp. t willkürlich bleibt.
Auch dieses nachzuweisen ist weiter nichts, als eine hier vorgreifend angeführte und als Übungsexempel zu empfehlende Anwendung des weiter unten vorgetragenen Theorems 50+). Zur Erleichterung von deren Lösung und um auf dieselbe nicht mehr zurückkommen zu müssen, führen wir hier nur noch an, dass u resp. v die Gleichung erfüllen muss:
u a1v + u1a = 0
v b1 + v1b u1 = 0
welche sich ergibt, indem man den Wert von b oder a aus der einen von den beiden Gleichungen 43) in die andre substituirt und dann rechts auf 0 bringt, kurz indem man eines der Symbole a, b aus den Gleichungen 43) eliminirt.
Beispielsweise kann die nach Def. (2) geltende Subsumtion:
0 ⋹ b
a ⋹ 1
nach Th. 43) umgeschrieben werden in eine Gleichung:
0 = u b.
1 = a + v.
Doch sind alsdann u und v augenscheinlich nicht vollkommen willkürlich und andrerseits sind sie auch nicht vollkommen bestimmt. Es gelten die Gleichungen (wenn b nicht selbst 0 resp. a nicht selbst 1 ist) nicht für alle, sondern nur für gewisse Gebiete u, v, aber doch für unendlich viele; es muss nämlich u, v von der Form sein:
u = w b1,
v = a1 + r,
wo w und r arbiträr bleiben. In der That lag hier ein Fall vor, wo a = 0 resp. b = 1 völlig bestimmt war, wo es „gegeben“ erscheint.
Anmerkung 2. Wir wollen jetzt im Überblick die zwölf Arten zusammenstellen, auf welche nach den bisherigen Sätzen eine Subsum- tion a ⋹ b in Gestalt einer einzigen Beziehung (zumeist Gleichung) angeschrieben werden kann. Die folgenden Aussagen sind einander äquivalent: a ⋹ b und nach 37): b1 ⋹ a1; nach 20): a = a b, b = a + b, woraus nach 32) und 36) auch folgt: a1 = a1 + b1, b1 = a1b1; nach 38): a b1 = 0, a1 + b = 1;
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Zehnte Vorlesung.
schreibenden Gleichungen 43×) und 43+) als gleichzeitig geltende in's Auge
fasst, können u und v nicht völlig unabhängig von einander angenommen
werden. Vielmehr, wenn eines von diesen beiden Gebieten (eventuell im
Einklang mit den für dasselbe angeführten Bestimmungen) festgelegt, ge-
geben oder irgendwie angenommen ist, muss das andre die Form haben:
u = a + s v1, v = b (u1 + t),
wo nur mehr s, resp. t willkürlich bleibt.
Auch dieses nachzuweisen ist weiter nichts, als eine hier vorgreifend
angeführte und als Übungsexempel zu empfehlende Anwendung des weiter
unten vorgetragenen Theorems 50+). Zur Erleichterung von deren Lösung
und um auf dieselbe nicht mehr zurückkommen zu müssen, führen wir hier
nur noch an, dass u resp. v die Gleichung erfüllen muss:
u a1 v + u1 a = 0 v b1 + v1 b u1 = 0
welche sich ergibt, indem man den Wert von b oder a aus der einen von
den beiden Gleichungen 43) in die andre substituirt und dann rechts auf
0 bringt, kurz indem man eines der Symbole a, b aus den Gleichungen 43)
eliminirt.
Beispielsweise kann die nach Def. (2) geltende Subsumtion:
0 ⋹ b a ⋹ 1
nach Th. 43) umgeschrieben werden in eine Gleichung:
0 = u b. 1 = a + v.
Doch sind alsdann u und v augenscheinlich nicht vollkommen willkürlich
und andrerseits sind sie auch nicht vollkommen bestimmt. Es gelten die
Gleichungen (wenn b nicht selbst 0 resp. a nicht selbst 1 ist) nicht für
alle, sondern nur für gewisse Gebiete u, v, aber doch für unendlich viele;
es muss nämlich u, v von der Form sein:
u = w b1, v = a1 + r,
wo w und r arbiträr bleiben. In der That lag hier ein Fall vor, wo
a = 0 resp. b = 1 völlig bestimmt war, wo es „gegeben“ erscheint.
Anmerkung 2. Wir wollen jetzt im Überblick die zwölf Arten
zusammenstellen, auf welche nach den bisherigen Sätzen eine Subsum-
tion a ⋹ b in Gestalt einer einzigen Beziehung (zumeist Gleichung)
angeschrieben werden kann. Die folgenden Aussagen sind einander
äquivalent:
a ⋹ b und nach 37): b1 ⋹ a1;
nach 20):
a = a b, b = a + b,
woraus nach 32) und 36) auch folgt:
a1 = a1 + b1, b1 = a1 b1;
nach 38): a b1 = 0, a1 + b = 1;
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 400. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/420>, abgerufen am 22.11.2024.
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