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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub-
sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen.

Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen
wir an die Spitze den Satz:
49+) Theorem. Die Gleichung
a x + b x1 = 0
ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen:
b x a1 resp. a x1 b1,
d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen:
b x, x a1 resp. a x1, x1 b1
mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist:
b a1 sowie a b1.
Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega-
tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen.

Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne
Einbusse an Inhalt in die beiden
a x = 0 und b x1 = 0;
die letztere von diesen ist aber nach Th. 38x) äquivalent der Subsum-
tion b x und die erste äquivalent der x a1, und damit ist die
erste Doppelsubsumtion b x a1 nicht nur bewiesen, sondern auch
als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt.

Das Th. 38x) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich
auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt
des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die
beiden Subsumtionen a x1, x1 b1 des andern Paares, welche zu
einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a x1 b1
zusammenziehen lassen.

Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten
Paares durch "Konversion mittelst Kontraposition" nach Th. 37) --
unter Berücksichtigung von Th. 31) -- aus denen des ersten, und ebenso
also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern.

Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie
vorstehend bewiesen, als der Gleichung
a x + b x1 = 0
üquivalent nachgewiesen ist, die zweite auch durch blosse Buchstaben-

Eilfte Vorlesung.
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub-
sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen.

Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen
wir an die Spitze den Satz:
49+) Theorem. Die Gleichung
a x + b x1 = 0
ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen:
b ⋹ x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1 ⋹ b1,
d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen:
b ⋹ x, x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1, x1 ⋹ b1
mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist:
b ⋹ a1 sowie a ⋹ b1.
Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega-
tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen.

Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne
Einbusse an Inhalt in die beiden
a x = 0 und b x1 = 0;
die letztere von diesen ist aber nach Th. 38×) äquivalent der Subsum-
tion b ⋹ x und die erste äquivalent der x ⋹ a1, und damit ist die
erste Doppelsubsumtion b ⋹ x ⋹ a1 nicht nur bewiesen, sondern auch
als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt.

Das Th. 38×) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich
auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt
des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die
beiden Subsumtionen a ⋹ x1, x1 ⋹ b1 des andern Paares, welche zu
einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a ⋹ x1 ⋹ b1
zusammenziehen lassen.

Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten
Paares durch „Konversion mittelst Kontraposition“ nach Th. 37) —
unter Berücksichtigung von Th. 31) — aus denen des ersten, und ebenso
also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern.

Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie
vorstehend bewiesen, als der Gleichung
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[446/0466] Eilfte Vorlesung. § 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Sub- sumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen. Um das Einfachste und Wichtigste vorweg zu erledigen, stellen wir an die Spitze den Satz: 49+) Theorem. Die Gleichung a x + b x1 = 0 ist äquivalent einer jeden der beiden Doppelsubsumtionen: b ⋹ x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1 ⋹ b1, d. h. ausführlicher gesprochen, dem Paare von Subsumtionen: b ⋹ x, x ⋹ a1 resp. a ⋹ x1, x1 ⋹ b1 mit welchem nebenher dem Prinzip II gemäss gegeben ist: b ⋹ a1 sowie a ⋹ b1. Allemal ist also die Unbekannte zwischen dem Koeffizienten ihrer Nega- tion und der Negation ihres Koeffizienten gelegen. Beweis. Nach Th. 24+) zerfällt die gegebene Gleichung ohne Einbusse an Inhalt in die beiden a x = 0 und b x1 = 0; die letztere von diesen ist aber nach Th. 38×) äquivalent der Subsum- tion b ⋹ x und die erste äquivalent der x ⋹ a1, und damit ist die erste Doppelsubsumtion b ⋹ x ⋹ a1 nicht nur bewiesen, sondern auch als mit der gegebnen Gleichung äquivalent erkannt. Das Th. 38×) lässt aber auf vorstehende zwei Gleichungen sich auch noch auf eine zweite Weise anwenden: indem man links, statt des einen, den andern Faktor isolirt; so ergeben sich auch direkt die beiden Subsumtionen a ⋹ x1, x1 ⋹ b1 des andern Paares, welche zu einfacherer Schreibung sich in die zweite Doppelsubsumtion a ⋹ x1 ⋹ b1 zusammenziehen lassen. Überdies folgen aber auch die beiden Subsumtionen des zweiten Paares durch „Konversion mittelst Kontraposition“ nach Th. 37) — unter Berücksichtigung von Th. 31) — aus denen des ersten, und ebenso also auch die eine Doppelsubsumtion aus der andern. Endlich kann man, nachdem die erste Doppelsubsumtion wie vorstehend bewiesen, als der Gleichung a x + b x1 = 0 üquivalent nachgewiesen ist, die zweite auch durch blosse Buchstaben-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 446. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/466>, abgerufen am 22.11.2024.