Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Die Forderung, die vereinigte Gleichung aufzulösen, überhaupt,
sie für irgend eine Bedeutung des Symboles x als gültig anzuerkennen,
bleibt es hier unmöglich, zu erfüllen.

Die Gleichung a b = 0 erscheint hienach als das Kennzeichen für
die Auflösbarkeit der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Unbekannten x.

Nicht auflösbar war beispielsweise die Gleichung 1 · x + 1 · x1 = 0; sie
selbst sowol als ihre "Resultante" lief auf die absurde Forderung 1 = 0
hinaus; der Ansatz einer solchen Gleichung x + x1 = 0 ist ganz und gar
unzulässig.

Nicht nur ist a b = 0 eine unerlässliche, notwendige Bedingung
sondern auch die hinreichende Bedingung für diese Auflösbarkeit.

Ist sie nämlich erfüllt, so gibt die dritte Gleichung unsres Theo-
rems: x = b u1 + a1 u für jede Bedeutung des u eine richtige Wurzel
und für ein von 0 bis 1 (im Klassenkalkul von "nichts" bis "alles")
variirendes u die sämtlichen Wurzeln der ersten Gleichung an.

Diese hat hienach, falls sie auflösbar ist, im Allgemeinen unend-
lich viele (eine unbegrenzte Anzahl oder Menge von) Wurzeln; ihre
Lösung nach x ist (unendlich-) vieldeutig. Geleistet wird die verlangte
Auflösung der ersten Gleichung dann also durch die dritte Gleichung
des Theorems, und zwar ausschliesslich und vollständig, indem die-
selbe für x einen allgemeinen Ausdruck angibt, welcher sämtliche
Wurzeln der erstern und nur solche umfasst.

Als die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Unbekannte x überhaupt einen Wert oder Werte habe, könnte man
die Gleichung a b = 0 füglich auch die "Wertigkeits"- oder "Valenz-
bedingung" für x nennen. Nur wenn sie erfüllt war, konnte es ein die
Gleichung a x + b x1 = 0 erfüllendes Gebiet x geben, war x eines
Wertes fähig, und wenn sie erfüllt ist, musste es auch ein solches
(eventuell mehrere solche) Gebiete geben, denn im letzteren Falle er-
wies sich jedes durch den Ausdruck b u1 + a1 u dargestellte Gebiet als
eines von der verlangten Eigenschaft.

e) In Anbetracht, dass diese Gleichung a b = 0 den Namen x der
Unbekannten überhaupt nicht enthält, kann man sie aber, wie schon
eingangs angedeutet, auch noch unter einen andern Gesichtspunkt
bringen: man kann sie bezeichnen als "Resultante der Elimination des x
aus der ersten Gleichung a x + b x1 = 0" unsres Theorems.

So oft nämlich eine Gleichung oder überhaupt ein System von
Propositionen gegeben ist, in welchen eine Gruppe x, y, ... von Sym-

Die Forderung, die vereinigte Gleichung aufzulösen, überhaupt,
sie für irgend eine Bedeutung des Symboles x als gültig anzuerkennen,
bleibt es hier unmöglich, zu erfüllen.

Die Gleichung a b = 0 erscheint hienach als das Kennzeichen für
die Auflösbarkeit der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Unbekannten x.

Nicht auflösbar war beispielsweise die Gleichung 1 · x + 1 · x1 = 0; sie
selbst sowol als ihre „Resultante“ lief auf die absurde Forderung 1 = 0
hinaus; der Ansatz einer solchen Gleichung x + x1 = 0 ist ganz und gar
unzulässig.

Nicht nur ist a b = 0 eine unerlässliche, notwendige Bedingung
sondern auch die hinreichende Bedingung für diese Auflösbarkeit.

Ist sie nämlich erfüllt, so gibt die dritte Gleichung unsres Theo-
rems: x = b u1 + a1 u für jede Bedeutung des u eine richtige Wurzel
und für ein von 0 bis 1 (im Klassenkalkul von „nichts“ bis „alles“)
variirendes u die sämtlichen Wurzeln der ersten Gleichung an.

Diese hat hienach, falls sie auflösbar ist, im Allgemeinen unend-
lich viele (eine unbegrenzte Anzahl oder Menge von) Wurzeln; ihre
Lösung nach x ist (unendlich-) vieldeutig. Geleistet wird die verlangte
Auflösung der ersten Gleichung dann also durch die dritte Gleichung
des Theorems, und zwar ausschliesslich und vollständig, indem die-
selbe für x einen allgemeinen Ausdruck angibt, welcher sämtliche
Wurzeln der erstern und nur solche umfasst.

Als die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die
Unbekannte x überhaupt einen Wert oder Werte habe, könnte man
die Gleichung a b = 0 füglich auch die „Wertigkeits“- oder „Valenz-
bedingung“ für x nennen. Nur wenn sie erfüllt war, konnte es ein die
Gleichung a x + b x1 = 0 erfüllendes Gebiet x geben, war x eines
Wertes fähig, und wenn sie erfüllt ist, musste es auch ein solches
(eventuell mehrere solche) Gebiete geben, denn im letzteren Falle er-
wies sich jedes durch den Ausdruck b u1 + a1 u dargestellte Gebiet als
eines von der verlangten Eigenschaft.

ε) In Anbetracht, dass diese Gleichung a b = 0 den Namen x der
Unbekannten überhaupt nicht enthält, kann man sie aber, wie schon
eingangs angedeutet, auch noch unter einen andern Gesichtspunkt
bringen: man kann sie bezeichnen als „Resultante der Elimination des x
aus der ersten Gleichung a x + b x1 = 0“ unsres Theorems.

So oft nämlich eine Gleichung oder überhaupt ein System von
Propositionen gegeben ist, in welchen eine Gruppe x, y, … von Sym-