allgemeinste Weise, indem man x = v a1 setzt, wo v ein unbestimmtes Gebiet bedeutet. Darnach folgt dann x1 = v1 + a, b x1 = b v1 + a b = b v1 + 0 = b v1 und um nun auch noch die zweite Forderung zu erfüllen, braucht man nur mehr v1 so zu bestimmen, dass b v1 = 0 ist. Darnach folgt in gleicher Weise: v1 = w b1, v = w1 + b, wo w1 ebenso, wie ursprünglich w, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt. Hiermit ist gefunden: x = (w1 + b) a1 und dies ist die eine der unter l) für die Lösung angegebenen For- men, wenn man noch den Namen w1 des unbestimmt bleibenden Ge- bietes durch den Namen u ersetzt. Für dieses x = a1 (u + b) stimmt nun, wie schon (indirekt) erkannt (und auch wieder direkt leicht nach- weisbar wäre) die Probe: es erfüllt die aufzulösende Gleichung bei beliebigem u.
Das Ergebniss muss darnach die vollständige Auflösung darstellen. Denn jede Wurzel x der Gleichung muss wie erkannt diese Form haben, und jedes x von dieser Form ist eine Wurzel der Gleichung.
Übrigens ist zu bemerken, dass unser Th. 50+) obwol in den vor- liegenden Gestalten erst von mir ausgesprochen, hergeleitet und bewiesen, im Grunde doch nichts anderes ist, als das Haupttheorem im Boole'schen Werke4, nur gereinigt von allen arithmetischen Beimengungen und von der spezielleren Boole'schen mitausgedehnt über die allgemeinere Je- vons'sche Addition, demgemäss auch nicht unerheblich vereinfacht.
Im Gegensatz zu noch andern eventuell zu besprechenden Methoden zur Bewältigung des Auflösungs- und Eliminationsproblemes werde ich da- her die auseinandergesetzte (nach einem auch schon von andern Seiten vor- liegenden Vorgange) "die von mir modifizirte Boole'sche Methode" nennen ("Boole's method, as modified by Schröder"). Bezüglich dessen unmodi- fizirter Methode vergleiche § 25, Ende.
o) Beabsichtigen wir Anwendungen des Theorems 50+) im Klassen- kalkul, so muss noch näher erwogen werden, wie daselbst der unbe- stimmte Parameter u zu interpretiren, wie also die Formel der Auflösung: x = b u1 + a1u oder x = b + u a1 in der Wortsprache darzustellen sein wird.
Jene Formel unmittelbar in diese zu übertragen, gemäss den in § 8 und 16 erörterten Regeln, erscheint misslich, in Anbetracht, dass u allemal einen unbestimmten Bruchteil: "nichts, oder einiges (etwas), oder das ganze (alles)" von der mit ihm multiplizirten Klasse heraus-
Eilfte Vorlesung.
allgemeinste Weise, indem man x = v a1 setzt, wo v ein unbestimmtes Gebiet bedeutet. Darnach folgt dann x1 = v1 + a, b x1 = b v1 + a b = b v1 + 0 = b v1 und um nun auch noch die zweite Forderung zu erfüllen, braucht man nur mehr v1 so zu bestimmen, dass b v1 = 0 ist. Darnach folgt in gleicher Weise: v1 = w b1, v = w1 + b, wo w1 ebenso, wie ursprünglich w, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt. Hiermit ist gefunden: x = (w1 + b) a1 und dies ist die eine der unter λ) für die Lösung angegebenen For- men, wenn man noch den Namen w1 des unbestimmt bleibenden Ge- bietes durch den Namen u ersetzt. Für dieses x = a1 (u + b) stimmt nun, wie schon (indirekt) erkannt (und auch wieder direkt leicht nach- weisbar wäre) die Probe: es erfüllt die aufzulösende Gleichung bei beliebigem u.
Das Ergebniss muss darnach die vollständige Auflösung darstellen. Denn jede Wurzel x der Gleichung muss wie erkannt diese Form haben, und jedes x von dieser Form ist eine Wurzel der Gleichung.
Übrigens ist zu bemerken, dass unser Th. 50+) obwol in den vor- liegenden Gestalten erst von mir ausgesprochen, hergeleitet und bewiesen, im Grunde doch nichts anderes ist, als das Haupttheorem im Boole'schen Werke4, nur gereinigt von allen arithmetischen Beimengungen und von der spezielleren Boole'schen mitausgedehnt über die allgemeinere Je- vons'sche Addition, demgemäss auch nicht unerheblich vereinfacht.
Im Gegensatz zu noch andern eventuell zu besprechenden Methoden zur Bewältigung des Auflösungs- und Eliminationsproblemes werde ich da- her die auseinandergesetzte (nach einem auch schon von andern Seiten vor- liegenden Vorgange) „die von mir modifizirte Boole'sche Methode“ nennen („Boole's method, as modified by Schröder“). Bezüglich dessen unmodi- fizirter Methode vergleiche § 25, Ende.
ο) Beabsichtigen wir Anwendungen des Theorems 50+) im Klassen- kalkul, so muss noch näher erwogen werden, wie daselbst der unbe- stimmte Parameter u zu interpretiren, wie also die Formel der Auflösung: x = b u1 + a1u oder x = b + u a1 in der Wortsprache darzustellen sein wird.
Jene Formel unmittelbar in diese zu übertragen, gemäss den in § 8 und 16 erörterten Regeln, erscheint misslich, in Anbetracht, dass u allemal einen unbestimmten Bruchteil: „nichts, oder einiges (etwas), oder das ganze (alles)“ von der mit ihm multiplizirten Klasse heraus-
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Eilfte Vorlesung.
allgemeinste Weise, indem man x = v a1 setzt, wo v ein unbestimmtes
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nur mehr v1 so zu bestimmen, dass b v1 = 0 ist. Darnach folgt in
gleicher Weise:
v1 = w b1, v = w1 + b,
wo w1 ebenso, wie ursprünglich w, ein unbestimmtes Gebiet vorstellt.
Hiermit ist gefunden:
x = (w1 + b) a1
und dies ist die eine der unter λ) für die Lösung angegebenen For-
men, wenn man noch den Namen w1 des unbestimmt bleibenden Ge-
bietes durch den Namen u ersetzt. Für dieses x = a1 (u + b) stimmt
nun, wie schon (indirekt) erkannt (und auch wieder direkt leicht nach-
weisbar wäre) die Probe: es erfüllt die aufzulösende Gleichung bei
beliebigem u.
Das Ergebniss muss darnach die vollständige Auflösung darstellen.
Denn jede Wurzel x der Gleichung muss wie erkannt diese Form
haben, und jedes x von dieser Form ist eine Wurzel der Gleichung.
Übrigens ist zu bemerken, dass unser Th. 50+) obwol in den vor-
liegenden Gestalten erst von mir ausgesprochen, hergeleitet und bewiesen,
im Grunde doch nichts anderes ist, als das Haupttheorem im Boole'schen
Werke4, nur gereinigt von allen arithmetischen Beimengungen und von
der spezielleren Boole'schen mitausgedehnt über die allgemeinere Je-
vons'sche Addition, demgemäss auch nicht unerheblich vereinfacht.
Im Gegensatz zu noch andern eventuell zu besprechenden Methoden
zur Bewältigung des Auflösungs- und Eliminationsproblemes werde ich da-
her die auseinandergesetzte (nach einem auch schon von andern Seiten vor-
liegenden Vorgange) „die von mir modifizirte Boole'sche Methode“ nennen
(„Boole's method, as modified by Schröder“). Bezüglich dessen unmodi-
fizirter Methode vergleiche § 25, Ende.
ο) Beabsichtigen wir Anwendungen des Theorems 50+) im Klassen-
kalkul, so muss noch näher erwogen werden, wie daselbst der unbe-
stimmte Parameter u zu interpretiren, wie also die Formel der Auflösung:
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in der Wortsprache darzustellen sein wird.
Jene Formel unmittelbar in diese zu übertragen, gemäss den in
§ 8 und 16 erörterten Regeln, erscheint misslich, in Anbetracht, dass
u allemal einen unbestimmten Bruchteil: „nichts, oder einiges (etwas),
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 460. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/480>, abgerufen am 22.11.2024.
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