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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor-
letzten können wir ebendeshalb schreiben:
b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x.
Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird:
(a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1,
da ja a b = 0 ist.

Hiemit ist denn gefunden:
a1 u + b u1 = a1 x,
und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in
der That:
a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x
sein muss.

Die Probe mit den Ausdrücken u) stimmte also für jede Bedeutung
von v.

Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung
a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll-
kommen beliebig noch vollkommen bestimmt. Vielmehr ist aus den Dar-
stellungen u) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x
liegen muss, in Formeln, dass:
ph) b1 x u a + x
und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man
durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v
ist, erkennt.

kh) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer-
den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen
Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung,
so erhalten wir:
(a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0,
woraus durch Elimination von x entsteht:
(a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0,
d. h. a = b1, sowie b = a1, womit wir auf den schon unter s) behandelten
Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war.

ps) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn
b1 x = a + x, d. h. a1 x1 · b1 x + (a + x) (b + x1) = 0,
oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der
ursprünglichen Gleichung, wenn:
a x + b x1 + a x1 + b x = 0,
oder
(a + b) (x1 + x) = a + b = 0,
mithin sowol a = 0, als b = 0 wäre.

Schröder, Algebra der Logik. 30
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.

Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor-
letzten können wir ebendeshalb schreiben:
b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x.
Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird:
(a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1,
da ja a b = 0 ist.

Hiemit ist denn gefunden:
a1 u + b u1 = a1 x,
und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in
der That:
a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x
sein muss.

Die Probe mit den Ausdrücken υ) stimmte also für jede Bedeutung
von v.

Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung
a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll-
kommen beliebig noch vollkommen bestimmt. Vielmehr ist aus den Dar-
stellungen υ) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x
liegen muss, in Formeln, dass:
φ) b1 x ⋹ u ⋹ a + x
und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man
durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v
ist, erkennt.

χ) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer-
den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen
Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung,
so erhalten wir:
(a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0,
woraus durch Elimination von x entsteht:
(a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0,
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Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war.

ψ) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn
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oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der
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Schröder, Algebra der Logik. 30
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[465/0485] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. Wegen b x1 = 0 fällt zunächst der letzte Term fort, und für den vor- letzten können wir ebendeshalb schreiben: b v1 = b v1 (x + x1) = b v1 x + v1 b x1 = b v1 x + 0 = b v1 x. Alsdann tritt x als gemeinsamer Faktor heraus, und sein Koeffizient wird: (a1 b1 + b) v1 + a1 v = (a1 + b) v1 + a1 v = (a1 + a b) v1 + a1 v = a1 v1 + a1 v = a1, da ja a b = 0 ist. Hiemit ist denn gefunden: a1 u + b u1 = a1 x, und bleibt nun blos noch in Betracht zu ziehen, dass wegen a x = 0 in der That: a1 x = a1 x + a x = (a1 + a) x = 1 · x = x sein muss. Die Probe mit den Ausdrücken υ) stimmte also für jede Bedeutung von v. Der Parameter u der Auflösung x = a1 u + b u1 unsrer Gleichung a x + b x1 = 0 ist hienach bei gegebenem x im Allgemeinen weder voll- kommen beliebig noch vollkommen bestimmt. Vielmehr ist aus den Dar- stellungen υ) für denselben zu ersehen, dass er zwischen b1 x und a + x liegen muss, in Formeln, dass: φ) b1 x ⋹ u ⋹ a + x und dazwischen kann er auch jeden Wert zugeteilt erhalten, wie man durch Anwendung des Th. 47) auf die Funktion, welche u hier von v ist, erkennt. χ) Völlig beliebig könnte bei gegebnem x der Parameter u nur wer- den, wenn b1 x = 0 und a + x = 1 wäre. Bilden wir aber aus diesen Relationen und der vorausgesetzten a x + b x1 = 0 die vereinigte Gleichung, so erhalten wir: (a + b1) x + (a1 + b) x1 = 0, woraus durch Elimination von x entsteht: (a + b1) (a1 + b) oder a b + a1 b1 = 0, d. h. a = b1, sowie b = a1, womit wir auf den schon unter σ) behandelten Fall verwiesen werden, in welchem die Wurzel x vollkommen bestimmt war. ψ) Völlig bestimmt könnte dieser Parameter u nur sein, wenn b1 x = a + x, d. h. a1 x1 · b1 x + (a + x) (b + x1) = 0, oder a x1 + b x = 0 noch wäre, im Ganzen also, d. h. im Verein mit der ursprünglichen Gleichung, wenn: a x + b x1 + a x1 + b x = 0, oder (a + b) (x1 + x) = a + b = 0, mithin sowol a = 0, als b = 0 wäre. Schröder, Algebra der Logik. 30

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 465. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/485>, abgerufen am 18.02.2025.