Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

In allen drei Fällen haben wir dann eine Unbekannte weniger, weil
auch im ersten a als willkürlich bleibend erkannt, gefunden ist.

Im vierten Falle wird man das Problem als unzulässig verlassen. Da
die Resultante aus der vereinigten Gleichung folgte, so wird auch diese
schon absurd sein, für keinen Wert von a und für kein Wertsystem der
Buchstabensymbole -- kurzum überhaupt nicht -- zu bestehen vermögen.

Liegt dieser vierte Fall nun nicht vor, so kann auch bei keiner fer-
neren Elimination irgend einer Buchstabengruppe die absurde Gleichung
1 = 0 mehr vorkommen. Denn da diese letztere auch a nicht enthält, so
kann sie jedenfalls als "ein Ergebniss der Elimination des a" auch an-
gesehen werden, und müsste also, entgegen der Annahme, in der vollen
Resultante der Elimination von a schon enthalten gewesen sein -- und
eben die volle Resultante hatten wir ja beim Eliminiren jederzeit gebildet.

Wir hätten nunmehr jetzt zur Elimination und Berechnung von b, c, ..
zu schreiten in der Weise wie es für x, y, .. des weitern auseinander-
gesetzt wird.

k) Aus der vorletzten Eliminationsresultante R (x) = 0, welche
beim Einhalten der oben empfohlenen Anordnung des Eliminations-
prozesses von den Unbekannten nur noch x enthalten kann, berechne
man x gemäss Th. 50+). Dies ist möglich, weil die Bedingung für
ihre Auflösbarkeit ja eben das Erfülltsein der (letzten) Resultante
R = 0 war. Im Ausdruck für die Wurzel x wird ein willkürlicher
Parameter u auftreten.

Für jeden Wert der somit gefundenen Wurzel x wird dann die
Gleichung R (x) = 0 erfüllt sein, weil die Probe für die Auflösung,
wofern sie richtig vollzogen war, doch sicher stimmt.

Diese Gleichung R (x) = 0 war aber selbst die Resultante der
Elimination von y aus der drittletzten Eliminationsresultante
R (x, y) = 0,
welche von den Unbekannten ausser x nur noch y enthielt (da die
folgenden Unbekannten bereits eliminirt waren). Das Erfülltsein dieser
Resultante R (x) = 0 ist die Bedingung für die Auflösbarkeit der Glei-
chung R (x, y) = 0 nach der Unbekannten y.

Setzt man in letztere den für die Wurzel x gefundenen Wert für
x ein, so enthält sie ausser der Unbekannten y nur noch die bekannten
Gebiete a, b, .. nebst dem willkürlichen Parameter u, und ist sicher
nach y auflösbar. Ihre Auflösung gemäss Th. 50) liefert uns nun
auch diese zweite Wurzel, deren Ausdruck noch einen neuen willkür-
lichen Parameter v enthalten wird.

Die gefundenen Wertepaare x, y befriedigen jetzt die drittletzte
Resultante R (x, y) = 0, welches die Bedingung war für die Auflös-
barkeit nach z der viertletzten Resultante R (x, y, z) = 0, die ausser

In allen drei Fällen haben wir dann eine Unbekannte weniger, weil
auch im ersten a als willkürlich bleibend erkannt, gefunden ist.

Im vierten Falle wird man das Problem als unzulässig verlassen. Da
die Resultante aus der vereinigten Gleichung folgte, so wird auch diese
schon absurd sein, für keinen Wert von a und für kein Wertsystem der
Buchstabensymbole — kurzum überhaupt nicht — zu bestehen vermögen.

Liegt dieser vierte Fall nun nicht vor, so kann auch bei keiner fer-
neren Elimination irgend einer Buchstabengruppe die absurde Gleichung
1 = 0 mehr vorkommen. Denn da diese letztere auch a nicht enthält, so
kann sie jedenfalls als „ein Ergebniss der Elimination des a“ auch an-
gesehen werden, und müsste also, entgegen der Annahme, in der vollen
Resultante der Elimination von a schon enthalten gewesen sein — und
eben die volle Resultante hatten wir ja beim Eliminiren jederzeit gebildet.

Wir hätten nunmehr jetzt zur Elimination und Berechnung von b, c, ‥
zu schreiten in der Weise wie es für x, y, ‥ des weitern auseinander-
gesetzt wird.

ϰ) Aus der vorletzten Eliminationsresultante R (x) = 0, welche
beim Einhalten der oben empfohlenen Anordnung des Eliminations-
prozesses von den Unbekannten nur noch x enthalten kann, berechne
man x gemäss Th. 50+). Dies ist möglich, weil die Bedingung für
ihre Auflösbarkeit ja eben das Erfülltsein der (letzten) Resultante
R = 0 war. Im Ausdruck für die Wurzel x wird ein willkürlicher
Parameter u auftreten.

Für jeden Wert der somit gefundenen Wurzel x wird dann die
Gleichung R (x) = 0 erfüllt sein, weil die Probe für die Auflösung,
wofern sie richtig vollzogen war, doch sicher stimmt.

Diese Gleichung R (x) = 0 war aber selbst die Resultante der
Elimination von y aus der drittletzten Eliminationsresultante
R (x, y) = 0,
welche von den Unbekannten ausser x nur noch y enthielt (da die
folgenden Unbekannten bereits eliminirt waren). Das Erfülltsein dieser
Resultante R (x) = 0 ist die Bedingung für die Auflösbarkeit der Glei-
chung R (x, y) = 0 nach der Unbekannten y.

Setzt man in letztere den für die Wurzel x gefundenen Wert für
x ein, so enthält sie ausser der Unbekannten y nur noch die bekannten
Gebiete a, b, ‥ nebst dem willkürlichen Parameter u, und ist sicher
nach y auflösbar. Ihre Auflösung gemäss Th. 50) liefert uns nun
auch diese zweite Wurzel, deren Ausdruck noch einen neuen willkür-
lichen Parameter v enthalten wird.

Die gefundenen Wertepaare x, y befriedigen jetzt die drittletzte
Resultante R (x, y) = 0, welches die Bedingung war für die Auflös-
barkeit nach z der viertletzten Resultante R (x, y, z) = 0, die ausser