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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
diesen als Argumente angeführten drei Unbekannten keine andern ent-
hält. Nach Einsetzung der gefundenen Wurzelwerte von x, y wird
man daher durch Auflösung gemäss Th. 50) jetzt die dritte Wurzel
z erhalten deren Ausdruck einen neuen arbiträren Parameter w in sich
schliesst.

Und so kann man augenscheinlich fortfahren bis alle Unbekannten
gefunden sind, welche dann auch die (zuletzt nach der letzten Unbe-
kannten aufgelöste, das ist die) ursprünglich gegebene vereinigte Glei-
chung erfüllen werden.

l) Wir wären hiemit zu Ende, wenn nicht noch eine beim successiven
Eliminiren von .. z, y, x zuweilen eintretende Möglichkeit zu berücksichtigen
wäre, die wir mit Stillschweigen übergangen haben: Es kann bei diesem
successiven Eliminiren -- eventuell zu verschiedenen Malen -- vorkommen,
dass beim Eliminiren einer bestimmten Unbekannten mit dieser zugleich noch
mehrere andere, dass eine ganze Gruppe von solchen auf einmal herausfällt.

Fällt z. B. beim Eliminiren von y auch x zugleich heraus, so wird die
der definitiven Resultante R = 0 unmittelbar vorangehende vorletzte Re-
sultante jetzt nicht R (x) = 0 sondern R (x, y) = 0 zu nennen sein. Fallen
unterweges mit z zugleich schon x und y heraus, so ist die vorletzte Re-
sultante von der Form R (x, y, z) = 0, etc.

Man kann erstlich solchen Fall beseitigen, indem man -- im ersten
Beispiel -- zwischen die allerletzte R = 0 und die vorletzte R (x, y) = 0
die Gleichung
R · x + R · x1 = 0
als nunmehrige vorletzte unter R (x) = 0 zu verstehende Resultante ein-
schiebt -- eine Gleichung, die sich aus R = 0 durch "Entwickelung" der
linken Seite nach x ergab.

Im zweiten Beispiel, indem man zwischen R (x y z) = 0 und R = 0
als drittletzte und vorletzte Resultante die Gleichungen einschiebt:
R · x y + R · x y1 + R · x1 y + R · x1 y1 = 0
als dermaligen Stellvertreter des im Text erwähnten R (x, y) = 0 und wie-
der R · x + R · x1 = 0 als Stellvertreter von R (x) = 0 -- und so fort.

Zur Erledigung des Falles genügt dann der Hinweis darauf, dass so-
fern eine Unbekannte aus der nach ihr aufzulösenden Gleichung von selbst
herausfällt, dieselbe (wie bereits erkannt) unbestimmt bleibt, hier also, wo
sie durch die Gleichung allein bestimmt werden sollte, als willkürlich oder
arbiträr zu bezeichnen sein wird.

Zweitens erkennt man aber auch ganz direkt, dass wenn beim Elimi-
niren einer Unbekannten auch die übrigen mit herausfallen, diese alle bis
auf eine willkürlich bleiben müssen, welche letztere sich durch die übrigen
ausdrücken lässt.

Gibt z. B. die Gleichung R (x y z) = 0 beim Eliminiren von z sogleich
eine Resultante R = 0, die auch x und y nicht mehr enthält, so ist --
das Erfülltsein der letzteren vorausgesetzt -- die erstere nach z schon not-

Eilfte Vorlesung.
diesen als Argumente angeführten drei Unbekannten keine andern ent-
hält. Nach Einsetzung der gefundenen Wurzelwerte von x, y wird
man daher durch Auflösung gemäss Th. 50) jetzt die dritte Wurzel
z erhalten deren Ausdruck einen neuen arbiträren Parameter w in sich
schliesst.

Und so kann man augenscheinlich fortfahren bis alle Unbekannten
gefunden sind, welche dann auch die (zuletzt nach der letzten Unbe-
kannten aufgelöste, das ist die) ursprünglich gegebene vereinigte Glei-
chung erfüllen werden.

λ) Wir wären hiemit zu Ende, wenn nicht noch eine beim successiven
Eliminiren von ‥ z, y, x zuweilen eintretende Möglichkeit zu berücksichtigen
wäre, die wir mit Stillschweigen übergangen haben: Es kann bei diesem
successiven Eliminiren — eventuell zu verschiedenen Malen — vorkommen,
dass beim Eliminiren einer bestimmten Unbekannten mit dieser zugleich noch
mehrere andere, dass eine ganze Gruppe von solchen auf einmal herausfällt.

Fällt z. B. beim Eliminiren von y auch x zugleich heraus, so wird die
der definitiven Resultante R = 0 unmittelbar vorangehende vorletzte Re-
sultante jetzt nicht R (x) = 0 sondern R (x, y) = 0 zu nennen sein. Fallen
unterweges mit z zugleich schon x und y heraus, so ist die vorletzte Re-
sultante von der Form R (x, y, z) = 0, etc.

Man kann erstlich solchen Fall beseitigen, indem man — im ersten
Beispiel — zwischen die allerletzte R = 0 und die vorletzte R (x, y) = 0
die Gleichung
R · x + R · x1 = 0
als nunmehrige vorletzte unter R (x) = 0 zu verstehende Resultante ein-
schiebt — eine Gleichung, die sich aus R = 0 durch „Entwickelung“ der
linken Seite nach x ergab.

Im zweiten Beispiel, indem man zwischen R (x y z) = 0 und R = 0
als drittletzte und vorletzte Resultante die Gleichungen einschiebt:
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als dermaligen Stellvertreter des im Text erwähnten R (x, y) = 0 und wie-
der R · x + R · x1 = 0 als Stellvertreter von R (x) = 0 — und so fort.

Zur Erledigung des Falles genügt dann der Hinweis darauf, dass so-
fern eine Unbekannte aus der nach ihr aufzulösenden Gleichung von selbst
herausfällt, dieselbe (wie bereits erkannt) unbestimmt bleibt, hier also, wo
sie durch die Gleichung allein bestimmt werden sollte, als willkürlich oder
arbiträr zu bezeichnen sein wird.

Zweitens erkennt man aber auch ganz direkt, dass wenn beim Elimi-
niren einer Unbekannten auch die übrigen mit herausfallen, diese alle bis
auf eine willkürlich bleiben müssen, welche letztere sich durch die übrigen
ausdrücken lässt.

Gibt z. B. die Gleichung R (x y z) = 0 beim Eliminiren von z sogleich
eine Resultante R = 0, die auch x und y nicht mehr enthält, so ist —
das Erfülltsein der letzteren vorausgesetzt — die erstere nach z schon not-

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[474/0494] Eilfte Vorlesung. diesen als Argumente angeführten drei Unbekannten keine andern ent- hält. Nach Einsetzung der gefundenen Wurzelwerte von x, y wird man daher durch Auflösung gemäss Th. 50) jetzt die dritte Wurzel z erhalten deren Ausdruck einen neuen arbiträren Parameter w in sich schliesst. Und so kann man augenscheinlich fortfahren bis alle Unbekannten gefunden sind, welche dann auch die (zuletzt nach der letzten Unbe- kannten aufgelöste, das ist die) ursprünglich gegebene vereinigte Glei- chung erfüllen werden. λ) Wir wären hiemit zu Ende, wenn nicht noch eine beim successiven Eliminiren von ‥ z, y, x zuweilen eintretende Möglichkeit zu berücksichtigen wäre, die wir mit Stillschweigen übergangen haben: Es kann bei diesem successiven Eliminiren — eventuell zu verschiedenen Malen — vorkommen, dass beim Eliminiren einer bestimmten Unbekannten mit dieser zugleich noch mehrere andere, dass eine ganze Gruppe von solchen auf einmal herausfällt. Fällt z. B. beim Eliminiren von y auch x zugleich heraus, so wird die der definitiven Resultante R = 0 unmittelbar vorangehende vorletzte Re- sultante jetzt nicht R (x) = 0 sondern R (x, y) = 0 zu nennen sein. Fallen unterweges mit z zugleich schon x und y heraus, so ist die vorletzte Re- sultante von der Form R (x, y, z) = 0, etc. Man kann erstlich solchen Fall beseitigen, indem man — im ersten Beispiel — zwischen die allerletzte R = 0 und die vorletzte R (x, y) = 0 die Gleichung R · x + R · x1 = 0 als nunmehrige vorletzte unter R (x) = 0 zu verstehende Resultante ein- schiebt — eine Gleichung, die sich aus R = 0 durch „Entwickelung“ der linken Seite nach x ergab. Im zweiten Beispiel, indem man zwischen R (x y z) = 0 und R = 0 als drittletzte und vorletzte Resultante die Gleichungen einschiebt: R · x y + R · x y1 + R · x1 y + R · x1 y1 = 0 als dermaligen Stellvertreter des im Text erwähnten R (x, y) = 0 und wie- der R · x + R · x1 = 0 als Stellvertreter von R (x) = 0 — und so fort. Zur Erledigung des Falles genügt dann der Hinweis darauf, dass so- fern eine Unbekannte aus der nach ihr aufzulösenden Gleichung von selbst herausfällt, dieselbe (wie bereits erkannt) unbestimmt bleibt, hier also, wo sie durch die Gleichung allein bestimmt werden sollte, als willkürlich oder arbiträr zu bezeichnen sein wird. Zweitens erkennt man aber auch ganz direkt, dass wenn beim Elimi- niren einer Unbekannten auch die übrigen mit herausfallen, diese alle bis auf eine willkürlich bleiben müssen, welche letztere sich durch die übrigen ausdrücken lässt. Gibt z. B. die Gleichung R (x y z) = 0 beim Eliminiren von z sogleich eine Resultante R = 0, die auch x und y nicht mehr enthält, so ist — das Erfülltsein der letzteren vorausgesetzt — die erstere nach z schon not-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 474. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/494>, abgerufen am 22.11.2024.