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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zwölfte Vorlesung.
§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls: identische Subtraktion
und Division als Exception und Abstraktion. Die Negation als ge-
meinsamer Spezialfall beider.

Eine erste Anwendung des Haupttheorems 50) wollen wir -- mehr
im theoretischen Interesse -- machen, um über die zur Addition und
Multiplikation entgegengesetzten oder inversen Operationen des Kalkuls
Klarheit zu gewinnen.

In jeder Disziplin die überhaupt von Subtraktion und Division
handelt, werden diese Operationen definirt als diejenigen, welche eine
Aufgabe lösen, die in der Beziehung der Umkehrung steht zur Aufgabe
der Addition resp. Multiplikation.

Bei den letztern Aufgaben, denjenigen also der beiden direkten
Operationen, werden die Summanden resp. Faktoren a, b als gegeben
angenommen, und kommt es darauf an, deren Summe resp. Produkt:
a)

x = a + bx = a · b
herzustellen, zu bilden -- oder, wenn man die in der Arithmetik ge-
bräuchliche, hier nicht mehr ganz passende Ausdrucksweise in unsre
Disziplin herübernehmen will: sie zu "berechnen". Eine zu der eben
geschilderten "umgekehrte" oder "inverse" Aufgabe liegt vor, wenn der
bei der vorigen gesucht gewesene Term gegeben ist und einer der
beiden vorhin bekannt gewesenen Terme als Unbekannte gesucht wird,
während auch der andere nach wie vor als bekannt gilt. Diese Auf-
gabe tritt also an uns heran, wenn gefragt wird nach demjenigen
Terme, welcher mit einem gegebenen additiv resp. multiplikativ ver-
knüpft ein gegebenes Resultat liefert, eine gegebene Summe, resp-
ein gegebenes Produkt gibt.

Eine Operation, welche zwei Operationsglieder thetisch verknüpft,
lässt im Allgemeinen zweierlei Umkehrungen, zu ihr inverse oder
lytische Operationen zu, je nachdem bei bekanntem Knüpfungsergeb-
nisse das eine oder das andere jener Operationsglieder als Unbekannte
gesucht wird. Wegen der Kommutativität der identischen Addition

Zwölfte Vorlesung.
§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls: identische Subtraktion
und Division als Exception und Abstraktion. Die Negation als ge-
meinsamer Spezialfall beider.

Eine erste Anwendung des Haupttheorems 50) wollen wir — mehr
im theoretischen Interesse — machen, um über die zur Addition und
Multiplikation entgegengesetzten oder inversen Operationen des Kalkuls
Klarheit zu gewinnen.

In jeder Disziplin die überhaupt von Subtraktion und Division
handelt, werden diese Operationen definirt als diejenigen, welche eine
Aufgabe lösen, die in der Beziehung der Umkehrung steht zur Aufgabe
der Addition resp. Multiplikation.

Bei den letztern Aufgaben, denjenigen also der beiden direkten
Operationen, werden die Summanden resp. Faktoren a, b als gegeben
angenommen, und kommt es darauf an, deren Summe resp. Produkt:
α)

x = a + bx = a · b
herzustellen, zu bilden — oder, wenn man die in der Arithmetik ge-
bräuchliche, hier nicht mehr ganz passende Ausdrucksweise in unsre
Disziplin herübernehmen will: sie zu „berechnen“. Eine zu der eben
geschilderten „umgekehrte“ oder „inverse“ Aufgabe liegt vor, wenn der
bei der vorigen gesucht gewesene Term gegeben ist und einer der
beiden vorhin bekannt gewesenen Terme als Unbekannte gesucht wird,
während auch der andere nach wie vor als bekannt gilt. Diese Auf-
gabe tritt also an uns heran, wenn gefragt wird nach demjenigen
Terme, welcher mit einem gegebenen additiv resp. multiplikativ ver-
knüpft ein gegebenes Resultat liefert, eine gegebene Summe, resp-
ein gegebenes Produkt gibt.

Eine Operation, welche zwei Operationsglieder thetisch verknüpft,
lässt im Allgemeinen zweierlei Umkehrungen, zu ihr inverse oder
lytische Operationen zu, je nachdem bei bekanntem Knüpfungsergeb-
nisse das eine oder das andere jener Operationsglieder als Unbekannte
gesucht wird. Wegen der Kommutativität der identischen Addition

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[[478]/0498] Zwölfte Vorlesung. § 23. Die inversen Operationen des Kalkuls: identische Subtraktion und Division als Exception und Abstraktion. Die Negation als ge- meinsamer Spezialfall beider. Eine erste Anwendung des Haupttheorems 50) wollen wir — mehr im theoretischen Interesse — machen, um über die zur Addition und Multiplikation entgegengesetzten oder inversen Operationen des Kalkuls Klarheit zu gewinnen. In jeder Disziplin die überhaupt von Subtraktion und Division handelt, werden diese Operationen definirt als diejenigen, welche eine Aufgabe lösen, die in der Beziehung der Umkehrung steht zur Aufgabe der Addition resp. Multiplikation. Bei den letztern Aufgaben, denjenigen also der beiden direkten Operationen, werden die Summanden resp. Faktoren a, b als gegeben angenommen, und kommt es darauf an, deren Summe resp. Produkt: α) x = a + b x = a · b herzustellen, zu bilden — oder, wenn man die in der Arithmetik ge- bräuchliche, hier nicht mehr ganz passende Ausdrucksweise in unsre Disziplin herübernehmen will: sie zu „berechnen“. Eine zu der eben geschilderten „umgekehrte“ oder „inverse“ Aufgabe liegt vor, wenn der bei der vorigen gesucht gewesene Term gegeben ist und einer der beiden vorhin bekannt gewesenen Terme als Unbekannte gesucht wird, während auch der andere nach wie vor als bekannt gilt. Diese Auf- gabe tritt also an uns heran, wenn gefragt wird nach demjenigen Terme, welcher mit einem gegebenen additiv resp. multiplikativ ver- knüpft ein gegebenes Resultat liefert, eine gegebene Summe, resp- ein gegebenes Produkt gibt. Eine Operation, welche zwei Operationsglieder thetisch verknüpft, lässt im Allgemeinen zweierlei Umkehrungen, zu ihr inverse oder lytische Operationen zu, je nachdem bei bekanntem Knüpfungsergeb- nisse das eine oder das andere jener Operationsglieder als Unbekannte gesucht wird. Wegen der Kommutativität der identischen Addition

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [478]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/498>, abgerufen am 22.11.2024.