in welchem u ein willkürliches Gebiet vorstellt.*)
Natürlich stimmt nun auch die Probe der Auflösung, welche darin besteht, dass man den Ausdruck e) oder x) für x in die Gleichung b) einträgt und sich überzeugt, dass dieselbe auf Grund der Voraus- setzung d) erfüllt ist -- und zwar für jede Bedeutung des u. In der That muss sein: th)
(a ÷ b) + b = a
(a : : b) b = a,
d. h. jeder Wert
der Differenz, zu dem Subtrahenden addirt gibt den Minuenden
des Quotienten, mit dem Divisor multiplizirt liefert den Dividenden.
Bei dem Nachweise ist schon die Valenzbedingung d) unentbehrlich, indem man als Wert der linken Seite in th) zunächst erhält:
a + b
a b
was erst auf Grund von d) sich in a zusammenzieht -- vergl. Th. 20). --
In § 21 und 22 gelang es uns, die allgemeinsten Eliminations- und Auflösungsprobleme der bisherigen Theorie schon ohne jegliche Kenntniss von den hier betrachteten inversen Operationen des identischen Kalkuls zu lösen. In dieser Thatsache hauptsächlich ist die Bestätigung zu erblicken für eine früher schon einmal gemachte Andeutung: dass die identische Subtraktion und Division ohne Schaden oder Einbusse aus der ganzen Dis- ziplin des Kalkuls sich ausmerzen lassen. Auch die gegenwärtige Studie hat die Tendenz dies vollends zu erhärten.
Die hier gebrauchten Bezeichnungen sind deshalb auch als proviso- rische, nur dem augenblicklichen Bedarf zu dienen bestimmte anzusehen, und aus diesem Grunde ist es auch sehr gleichgültig, wie man etwa die volldeutigen Operationszeichen in a ÷ b, a : : b zur Unterscheidung von den eindeutigen in a -- b, a : b verbatim lesen mag. Da es immerhin misslich erscheint, häufig Zeichen lesen zu müssen ohne einen Fingerzeig darüber und eine bestimmte Gewöhnung, wie dieselben auszusprechen seien, so mag man für jene etwa "voll-minus" und "voll-durch" sprechen.
Beachtenswert erscheint noch folgendes. Wir haben vorstehend x er-
*) Die augegebenen verschiednen Ausdrucksformen für die Wurzel sind in § 22 schon implicite aufeinander zurückgeführt. Um die Zurückführung direkt zu leisten, genügen, im Hinblick auf die Valenzbedingung d), die Theoreme 30+) und 33+) Zusatz, oder auch "Entwickelung" nach a, b, u.
Schröder, Algebra der Logik. 31
§ 23. Identische Subtraktion und Division.
ξ)
x = a ÷ b
x = a : : b,
wo die rechte Seite den Ausdruck bedeutet: η)
a ÷ b = ab1u1 + au =
a : : b = a u1 + (a + b1) u =
= a (b1 + u) =
= a + u b1 =
= a b1 + u b = a b1 + u a b,
= a b + u a1b1,
in welchem u ein willkürliches Gebiet vorstellt.*)
Natürlich stimmt nun auch die Probe der Auflösung, welche darin besteht, dass man den Ausdruck η) oder ξ) für x in die Gleichung β) einträgt und sich überzeugt, dass dieselbe auf Grund der Voraus- setzung δ) erfüllt ist — und zwar für jede Bedeutung des u. In der That muss sein: ϑ)
(a ÷ b) + b = a
(a : : b) b = a,
d. h. jeder Wert
der Differenz, zu dem Subtrahenden addirt gibt den Minuenden
des Quotienten, mit dem Divisor multiplizirt liefert den Dividenden.
Bei dem Nachweise ist schon die Valenzbedingung δ) unentbehrlich, indem man als Wert der linken Seite in ϑ) zunächst erhält:
a + b
a b
was erst auf Grund von δ) sich in a zusammenzieht — vergl. Th. 20). —
In § 21 und 22 gelang es uns, die allgemeinsten Eliminations- und Auflösungsprobleme der bisherigen Theorie schon ohne jegliche Kenntniss von den hier betrachteten inversen Operationen des identischen Kalkuls zu lösen. In dieser Thatsache hauptsächlich ist die Bestätigung zu erblicken für eine früher schon einmal gemachte Andeutung: dass die identische Subtraktion und Division ohne Schaden oder Einbusse aus der ganzen Dis- ziplin des Kalkuls sich ausmerzen lassen. Auch die gegenwärtige Studie hat die Tendenz dies vollends zu erhärten.
Die hier gebrauchten Bezeichnungen sind deshalb auch als proviso- rische, nur dem augenblicklichen Bedarf zu dienen bestimmte anzusehen, und aus diesem Grunde ist es auch sehr gleichgültig, wie man etwa die volldeutigen Operationszeichen in a ÷ b, a : : b zur Unterscheidung von den eindeutigen in a — b, a : b verbatim lesen mag. Da es immerhin misslich erscheint, häufig Zeichen lesen zu müssen ohne einen Fingerzeig darüber und eine bestimmte Gewöhnung, wie dieselben auszusprechen seien, so mag man für jene etwa „voll-minus“ und „voll-durch“ sprechen.
Beachtenswert erscheint noch folgendes. Wir haben vorstehend x er-
*) Die augegebenen verschiednen Ausdrucksformen für die Wurzel sind in § 22 schon implicite aufeinander zurückgeführt. Um die Zurückführung direkt zu leisten, genügen, im Hinblick auf die Valenzbedingung δ), die Theoreme 30+) und 33+) Zusatz, oder auch „Entwickelung“ nach a, b, u.
Schröder, Algebra der Logik. 31
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[481/0501]
§ 23. Identische Subtraktion und Division.
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η) a ÷ b = ab1u1 + au = a : : b = a u1 + (a + b1) u =
= a (b1 + u) = = a + u b1 =
= a b1 + u b = a b1 + u a b, = a b + u a1b1,
in welchem u ein willkürliches Gebiet vorstellt. *)
Natürlich stimmt nun auch die Probe der Auflösung, welche
darin besteht, dass man den Ausdruck η) oder ξ) für x in die Gleichung
β) einträgt und sich überzeugt, dass dieselbe auf Grund der Voraus-
setzung δ) erfüllt ist — und zwar für jede Bedeutung des u. In der
That muss sein:
ϑ) (a ÷ b) + b = a (a : : b) b = a,
d. h. jeder Wert
der Differenz, zu dem Subtrahenden
addirt gibt den Minuenden des Quotienten, mit dem Divisor
multiplizirt liefert den Dividenden.
Bei dem Nachweise ist schon die Valenzbedingung δ) unentbehrlich,
indem man als Wert der linken Seite in ϑ) zunächst erhält:
a + b a b
was erst auf Grund von δ) sich in a zusammenzieht — vergl. Th. 20). —
In § 21 und 22 gelang es uns, die allgemeinsten Eliminations- und
Auflösungsprobleme der bisherigen Theorie schon ohne jegliche Kenntniss
von den hier betrachteten inversen Operationen des identischen Kalkuls zu
lösen. In dieser Thatsache hauptsächlich ist die Bestätigung zu erblicken
für eine früher schon einmal gemachte Andeutung: dass die identische
Subtraktion und Division ohne Schaden oder Einbusse aus der ganzen Dis-
ziplin des Kalkuls sich ausmerzen lassen. Auch die gegenwärtige Studie
hat die Tendenz dies vollends zu erhärten.
Die hier gebrauchten Bezeichnungen sind deshalb auch als proviso-
rische, nur dem augenblicklichen Bedarf zu dienen bestimmte anzusehen,
und aus diesem Grunde ist es auch sehr gleichgültig, wie man etwa die
volldeutigen Operationszeichen in a ÷ b, a : : b zur Unterscheidung von den
eindeutigen in a — b, a : b verbatim lesen mag. Da es immerhin misslich
erscheint, häufig Zeichen lesen zu müssen ohne einen Fingerzeig darüber
und eine bestimmte Gewöhnung, wie dieselben auszusprechen seien, so mag
man für jene etwa „voll-minus“ und „voll-durch“ sprechen.
Beachtenswert erscheint noch folgendes. Wir haben vorstehend x er-
*) Die augegebenen verschiednen Ausdrucksformen für die Wurzel sind in
§ 22 schon implicite aufeinander zurückgeführt. Um die Zurückführung direkt zu
leisten, genügen, im Hinblick auf die Valenzbedingung δ), die Theoreme 30+) und
33+) Zusatz, oder auch „Entwickelung“ nach a, b, u.
Schröder, Algebra der Logik. 31
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 481. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/501>, abgerufen am 18.02.2025.
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