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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zwölfte Vorlesung.
klärt als die allgemeinste Lösung der Gleichung b), als den Generalwert
der Wurzel. Dieser ist eigentlich nicht ein Wert, sondern stellt gleichwie
die Ausdrücke e) eine ganze Gattung oder Klasse von Werten vor, die
man erhalten wird, indem man daselbst das u von 0 bis 1 variirt (vergl.
S. 426 sq.). Die Gleichungen z) bis th) sowie die noch weiterhin folgenden
auf volldeutige Differenzen und Quotienten bezüglichen sind darum auch
nicht, wie zumeist die früheren, zu deuten als Gleichungen zwischen Ge-
bieten, sondern als solche zwischen Klassen von Gebieten -- die allerdings,
wie in th) rechts, sich unter Umständen auch in ein einziges Gebiet zu-
sammenziehen mögen. Sie sollen aussagen, dass (nicht etwa jedes einzelne,
sondern) die Gesamtheit der Gebiete links einerlei ist mit der Gesamtheit
der Gebiete welche rechts vom Gleichheitszeichen dargestellt erscheinen.
Die Gleichheitszeichen sind also wirksam nicht in der ursprünglichen, sondern
in der aus ihr abgeleiteten Mannigfaltigkeit, in der Mn. der Klassen von Ge-
bieten, und sinken dieselben nur in Ausartungsfällen, wie th), in die erstere
Mn. zurück.

Will man jedoch x als ein eindeutiges Gebietsymbol aufgefasst wissen,
mithin darunter nur ein spezielles die Gleichung b) erfüllendes Gebiet, eine
partikulare Wurzel dieser Gleichung verstehen, so ist es nicht mehr zu-
lässig die Angaben z) als Gleichungen beizubehalten. Wie wir schon ander-
wärts ausgeführt haben, darf das Individuum seiner Gattung nicht etwa
gleich gesetzt werden. Für z) müsste alsdann korrekt geschrieben werden:

x a ÷ bx a : : b
-- wobei im Allgemeinen die Unterordnung gilt und Gleichheit nur in den
(nachher auch zu betrachtenden) Grenzfällen eintreten kann, wo die rechte
Seite eindeutig wird, die Gleichung b) nur eine Wurzel zulässt, in diesen
Fällen aber auch eintreten muss.

Auch diese Subsumtionszeichen wären aber als solche der abgeleiteten
Mannigfaltigkeit zu interpretiren, und nicht als solche der ursprünglichen.
Die Subsumtion besagte hier nicht, das Gebiet x sei als Teil enthalten in
einem rechts angeführten Gebiete, sondern nur, es sei als Individuum ent-
halten in der rechts stehenden Klasse von Gebieten.

Gerade in jenen Grenzfällen aber, wo die Klasse a ÷ b rechts selbst
nur ein Gebiet umfasst, müsste das Subsumtionszeichen Missverständnisse
nahe legen, indem es Einordnung (als Teil) mitzuzulassen scheint, wo, wie
erwähnt, nur Gleichheit gelten kann. Zur Vermeidung solcher (und ähn-
licher schon in § 9 unter ps) charakterisirter Misstände müsste man eigent-
lich zweierlei Subsumtionszeichen verwenden für die ursprüngliche und für
die abgeleitete Mannigfaltigkeit.

Die Nötigung hiezu lässt sich indess vermeiden und sie pflegt glück-
lich vermieden zu werden, indem man die Lösungen:

x = a (b1 + u)x = a + u b1
auch jetzt wieder als Gleichungen schreibt, dafür aber dem u eine andere
Deutung gibt. Statt wie bisher es als ein willkürliches Gebiet gelten zu
lassen, dem alle erdenklichen Bedeutungen innerhalb der ursprünglichen
Mn. mit gleichem Rechte zukommen, braucht man es jetzt nur hinzustellen

Zwölfte Vorlesung.
klärt als die allgemeinste Lösung der Gleichung β), als den Generalwert
der Wurzel. Dieser ist eigentlich nicht ein Wert, sondern stellt gleichwie
die Ausdrücke η) eine ganze Gattung oder Klasse von Werten vor, die
man erhalten wird, indem man daselbst das u von 0 bis 1 variirt (vergl.
S. 426 sq.). Die Gleichungen ζ) bis ϑ) sowie die noch weiterhin folgenden
auf volldeutige Differenzen und Quotienten bezüglichen sind darum auch
nicht, wie zumeist die früheren, zu deuten als Gleichungen zwischen Ge-
bieten, sondern als solche zwischen Klassen von Gebieten — die allerdings,
wie in ϑ) rechts, sich unter Umständen auch in ein einziges Gebiet zu-
sammenziehen mögen. Sie sollen aussagen, dass (nicht etwa jedes einzelne,
sondern) die Gesamtheit der Gebiete links einerlei ist mit der Gesamtheit
der Gebiete welche rechts vom Gleichheitszeichen dargestellt erscheinen.
Die Gleichheitszeichen sind also wirksam nicht in der ursprünglichen, sondern
in der aus ihr abgeleiteten Mannigfaltigkeit, in der Mn. der Klassen von Ge-
bieten, und sinken dieselben nur in Ausartungsfällen, wie ϑ), in die erstere
Mn. zurück.

Will man jedoch x als ein eindeutiges Gebietsymbol aufgefasst wissen,
mithin darunter nur ein spezielles die Gleichung β) erfüllendes Gebiet, eine
partikulare Wurzel dieser Gleichung verstehen, so ist es nicht mehr zu-
lässig die Angaben ζ) als Gleichungen beizubehalten. Wie wir schon ander-
wärts ausgeführt haben, darf das Individuum seiner Gattung nicht etwa
gleich gesetzt werden. Für ζ) müsste alsdann korrekt geschrieben werden:

x ⋹ a ÷ bx ⋹ a : : b
— wobei im Allgemeinen die Unterordnung gilt und Gleichheit nur in den
(nachher auch zu betrachtenden) Grenzfällen eintreten kann, wo die rechte
Seite eindeutig wird, die Gleichung β) nur eine Wurzel zulässt, in diesen
Fällen aber auch eintreten muss.

Auch diese Subsumtionszeichen wären aber als solche der abgeleiteten
Mannigfaltigkeit zu interpretiren, und nicht als solche der ursprünglichen.
Die Subsumtion besagte hier nicht, das Gebiet x sei als Teil enthalten in
einem rechts angeführten Gebiete, sondern nur, es sei als Individuum ent-
halten in der rechts stehenden Klasse von Gebieten.

Gerade in jenen Grenzfällen aber, wo die Klasse a ÷ b rechts selbst
nur ein Gebiet umfasst, müsste das Subsumtionszeichen Missverständnisse
nahe legen, indem es Einordnung (als Teil) mitzuzulassen scheint, wo, wie
erwähnt, nur Gleichheit gelten kann. Zur Vermeidung solcher (und ähn-
licher schon in § 9 unter ψ) charakterisirter Misstände müsste man eigent-
lich zweierlei Subsumtionszeichen verwenden für die ursprüngliche und für
die abgeleitete Mannigfaltigkeit.

Die Nötigung hiezu lässt sich indess vermeiden und sie pflegt glück-
lich vermieden zu werden, indem man die Lösungen:

x = a (b1 + u)x = a + u b1
auch jetzt wieder als Gleichungen schreibt, dafür aber dem u eine andere
Deutung gibt. Statt wie bisher es als ein willkürliches Gebiet gelten zu
lassen, dem alle erdenklichen Bedeutungen innerhalb der ursprünglichen
Mn. mit gleichem Rechte zukommen, braucht man es jetzt nur hinzustellen

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[482/0502] Zwölfte Vorlesung. klärt als die allgemeinste Lösung der Gleichung β), als den Generalwert der Wurzel. Dieser ist eigentlich nicht ein Wert, sondern stellt gleichwie die Ausdrücke η) eine ganze Gattung oder Klasse von Werten vor, die man erhalten wird, indem man daselbst das u von 0 bis 1 variirt (vergl. S. 426 sq.). Die Gleichungen ζ) bis ϑ) sowie die noch weiterhin folgenden auf volldeutige Differenzen und Quotienten bezüglichen sind darum auch nicht, wie zumeist die früheren, zu deuten als Gleichungen zwischen Ge- bieten, sondern als solche zwischen Klassen von Gebieten — die allerdings, wie in ϑ) rechts, sich unter Umständen auch in ein einziges Gebiet zu- sammenziehen mögen. Sie sollen aussagen, dass (nicht etwa jedes einzelne, sondern) die Gesamtheit der Gebiete links einerlei ist mit der Gesamtheit der Gebiete welche rechts vom Gleichheitszeichen dargestellt erscheinen. Die Gleichheitszeichen sind also wirksam nicht in der ursprünglichen, sondern in der aus ihr abgeleiteten Mannigfaltigkeit, in der Mn. der Klassen von Ge- bieten, und sinken dieselben nur in Ausartungsfällen, wie ϑ), in die erstere Mn. zurück. Will man jedoch x als ein eindeutiges Gebietsymbol aufgefasst wissen, mithin darunter nur ein spezielles die Gleichung β) erfüllendes Gebiet, eine partikulare Wurzel dieser Gleichung verstehen, so ist es nicht mehr zu- lässig die Angaben ζ) als Gleichungen beizubehalten. Wie wir schon ander- wärts ausgeführt haben, darf das Individuum seiner Gattung nicht etwa gleich gesetzt werden. Für ζ) müsste alsdann korrekt geschrieben werden: x ⋹ a ÷ b x ⋹ a : : b — wobei im Allgemeinen die Unterordnung gilt und Gleichheit nur in den (nachher auch zu betrachtenden) Grenzfällen eintreten kann, wo die rechte Seite eindeutig wird, die Gleichung β) nur eine Wurzel zulässt, in diesen Fällen aber auch eintreten muss. Auch diese Subsumtionszeichen wären aber als solche der abgeleiteten Mannigfaltigkeit zu interpretiren, und nicht als solche der ursprünglichen. Die Subsumtion besagte hier nicht, das Gebiet x sei als Teil enthalten in einem rechts angeführten Gebiete, sondern nur, es sei als Individuum ent- halten in der rechts stehenden Klasse von Gebieten. Gerade in jenen Grenzfällen aber, wo die Klasse a ÷ b rechts selbst nur ein Gebiet umfasst, müsste das Subsumtionszeichen Missverständnisse nahe legen, indem es Einordnung (als Teil) mitzuzulassen scheint, wo, wie erwähnt, nur Gleichheit gelten kann. Zur Vermeidung solcher (und ähn- licher schon in § 9 unter ψ) charakterisirter Misstände müsste man eigent- lich zweierlei Subsumtionszeichen verwenden für die ursprüngliche und für die abgeleitete Mannigfaltigkeit. Die Nötigung hiezu lässt sich indess vermeiden und sie pflegt glück- lich vermieden zu werden, indem man die Lösungen: x = a (b1 + u) x = a + u b1 auch jetzt wieder als Gleichungen schreibt, dafür aber dem u eine andere Deutung gibt. Statt wie bisher es als ein willkürliches Gebiet gelten zu lassen, dem alle erdenklichen Bedeutungen innerhalb der ursprünglichen Mn. mit gleichem Rechte zukommen, braucht man es jetzt nur hinzustellen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 482. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/502>, abgerufen am 21.11.2024.