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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zwölfte Vorlesung.
erst also die vereinigte Gleichung des Gleichungenpaares o) herstellt, aus
dieser dann x eliminirt, wodurch sich abermals die Valenzbedingung d) und
nur diese ergibt, endlich jene nach der Unbekannten x auflöst. Als Auf-
lösung ergibt sich der völlig bestimmte Wert:
x = a b1x = a + b1;
und umgekehrt ist leicht nachzuweisen, dass dieser letztere Ansatz zu-
sammen mit der Valenzbedingung d) auch das Gleichungenpaar o) nach
sich zieht, nämlich dieselbe vereinigte Gleichung liefert mit welcher dieses
äquivalent sein muss. Sobald man also die in der Voraussetzung p) doch
sicher miteingeschlossene Annahme gelten lässt, dass die daselbst gegebenen
Ausdrücke einen Sinn haben, wird die Gleichung p) auch ihrerseits das
Gleichungenpaar o) zu ersetzen im stande sein.

Links vom Mittelstriche z. B. ist aus dieser Betrachtung zu lernen,
dass man im identischen Kalkul einen Summanden (b) von der einen
Seite der Gleichung wenigstens dann (jedoch auch nur dann) von dieser
Seite als einen Subtrahenden (mit dem Minuszeichen) auf die andere
Seite werfen darf, wenn er mit dem andern Summanden (x, resp. mit
allen übrigen Gliedern der vorausgesetzten Summe) disjunkt ist, wenn
also die binomische Summe eine reduzirte war.

Während aus einer Gleichung x + b = a im Allgemeinen nur zu
schliessen ist, dass x einer von den Werten der volldeutigen Differenz
a ÷ b sein müsse, folgt x = a -- b ausschliesslich dann, wenn neben-
her bekannt ist, dass x b = 0 sei.

Dagegen darf ein Subtrahend immer als Summand über das
Gleichheitszeichen hinübergeschafft, transponirt werden, m. a. W. aus
einer Gleichung x = a -- b ist es immer zulässig den Schluss zu
ziehen: x + b = a, in Anbetracht, dass die Probe einer richtig voll-
zogenen Subtraktion doch sicher stimmen wird.

Im Hinblick darauf z. B., dass b + 0 = b nebst b · 0 = 0 gilt, wird
es darnach insbesondre gestattet sein, eine Gleichung a = b (oder a = b + 0)
in die Form a -- b = 0 umzusetzen, dieselbe mithin auch nach demselben
Schema, welches in der Arithmetik geläufig ist, rechterhand auf 0 zu
bringen. In der That sagt der Ansatz a -- b = 0 nach k) aus, dass
a b1 = 0 sei, wozu aber noch die Valenzbedingung a1 b = 0 tritt, und dieses
läuft nach Th. 24) und 39) zusammen auf a = b hinaus. Wie den Ge-
brauch der inversen Operationen überhaupt, so wird man aber auch die
Schreibweise a -- b = 0 in unsrer Disziplin besser vermeiden.

Unberechtigt würde es aber beispielsweise sein, aus der Gleichung
a + 0 = a, die allgemein gilt, den Schluss zu ziehen, dass 0 = u a sein
müsse bei beliebigem u, nämlich dass 0 dem Generalwert von a ÷ a, nach
dem Schema e, l) gebildet, gleichzusetzen sei. Es gilt dies, da der Term 0
ein vollkommen bekannter, notwendig nur für gewisse u (= v a1, z. B. für
u = 0); es darf nur geschlossen werden, u sei einer von den im General-

Zwölfte Vorlesung.
erst also die vereinigte Gleichung des Gleichungenpaares ο) herstellt, aus
dieser dann x eliminirt, wodurch sich abermals die Valenzbedingung δ) und
nur diese ergibt, endlich jene nach der Unbekannten x auflöst. Als Auf-
lösung ergibt sich der völlig bestimmte Wert:
x = a b1x = a + b1;
und umgekehrt ist leicht nachzuweisen, dass dieser letztere Ansatz zu-
sammen mit der Valenzbedingung δ) auch das Gleichungenpaar ο) nach
sich zieht, nämlich dieselbe vereinigte Gleichung liefert mit welcher dieses
äquivalent sein muss. Sobald man also die in der Voraussetzung π) doch
sicher miteingeschlossene Annahme gelten lässt, dass die daselbst gegebenen
Ausdrücke einen Sinn haben, wird die Gleichung π) auch ihrerseits das
Gleichungenpaar ο) zu ersetzen im stande sein.

Links vom Mittelstriche z. B. ist aus dieser Betrachtung zu lernen,
dass man im identischen Kalkul einen Summanden (b) von der einen
Seite der Gleichung wenigstens dann (jedoch auch nur dann) von dieser
Seite als einen Subtrahenden (mit dem Minuszeichen) auf die andere
Seite werfen darf, wenn er mit dem andern Summanden (x, resp. mit
allen übrigen Gliedern der vorausgesetzten Summe) disjunkt ist, wenn
also die binomische Summe eine reduzirte war.

Während aus einer Gleichung x + b = a im Allgemeinen nur zu
schliessen ist, dass x einer von den Werten der volldeutigen Differenz
a ÷ b sein müsse, folgt x = a — b ausschliesslich dann, wenn neben-
her bekannt ist, dass x b = 0 sei.

Dagegen darf ein Subtrahend immer als Summand über das
Gleichheitszeichen hinübergeschafft, transponirt werden, m. a. W. aus
einer Gleichung x = a — b ist es immer zulässig den Schluss zu
ziehen: x + b = a, in Anbetracht, dass die Probe einer richtig voll-
zogenen Subtraktion doch sicher stimmen wird.

Im Hinblick darauf z. B., dass b + 0 = b nebst b · 0 = 0 gilt, wird
es darnach insbesondre gestattet sein, eine Gleichung a = b (oder a = b + 0)
in die Form a — b = 0 umzusetzen, dieselbe mithin auch nach demselben
Schema, welches in der Arithmetik geläufig ist, rechterhand auf 0 zu
bringen. In der That sagt der Ansatz a — b = 0 nach ϰ) aus, dass
a b1 = 0 sei, wozu aber noch die Valenzbedingung a1 b = 0 tritt, und dieses
läuft nach Th. 24) und 39) zusammen auf a = b hinaus. Wie den Ge-
brauch der inversen Operationen überhaupt, so wird man aber auch die
Schreibweise a — b = 0 in unsrer Disziplin besser vermeiden.

Unberechtigt würde es aber beispielsweise sein, aus der Gleichung
a + 0 = a, die allgemein gilt, den Schluss zu ziehen, dass 0 = u a sein
müsse bei beliebigem u, nämlich dass 0 dem Generalwert von a ÷ a, nach
dem Schema η, λ) gebildet, gleichzusetzen sei. Es gilt dies, da der Term 0
ein vollkommen bekannter, notwendig nur für gewisse u (= v a1, z. B. für
u = 0); es darf nur geschlossen werden, u sei einer von den im General-

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[486/0506] Zwölfte Vorlesung. erst also die vereinigte Gleichung des Gleichungenpaares ο) herstellt, aus dieser dann x eliminirt, wodurch sich abermals die Valenzbedingung δ) und nur diese ergibt, endlich jene nach der Unbekannten x auflöst. Als Auf- lösung ergibt sich der völlig bestimmte Wert: x = a b1 x = a + b1; und umgekehrt ist leicht nachzuweisen, dass dieser letztere Ansatz zu- sammen mit der Valenzbedingung δ) auch das Gleichungenpaar ο) nach sich zieht, nämlich dieselbe vereinigte Gleichung liefert mit welcher dieses äquivalent sein muss. Sobald man also die in der Voraussetzung π) doch sicher miteingeschlossene Annahme gelten lässt, dass die daselbst gegebenen Ausdrücke einen Sinn haben, wird die Gleichung π) auch ihrerseits das Gleichungenpaar ο) zu ersetzen im stande sein. Links vom Mittelstriche z. B. ist aus dieser Betrachtung zu lernen, dass man im identischen Kalkul einen Summanden (b) von der einen Seite der Gleichung wenigstens dann (jedoch auch nur dann) von dieser Seite als einen Subtrahenden (mit dem Minuszeichen) auf die andere Seite werfen darf, wenn er mit dem andern Summanden (x, resp. mit allen übrigen Gliedern der vorausgesetzten Summe) disjunkt ist, wenn also die binomische Summe eine reduzirte war. Während aus einer Gleichung x + b = a im Allgemeinen nur zu schliessen ist, dass x einer von den Werten der volldeutigen Differenz a ÷ b sein müsse, folgt x = a — b ausschliesslich dann, wenn neben- her bekannt ist, dass x b = 0 sei. Dagegen darf ein Subtrahend immer als Summand über das Gleichheitszeichen hinübergeschafft, transponirt werden, m. a. W. aus einer Gleichung x = a — b ist es immer zulässig den Schluss zu ziehen: x + b = a, in Anbetracht, dass die Probe einer richtig voll- zogenen Subtraktion doch sicher stimmen wird. Im Hinblick darauf z. B., dass b + 0 = b nebst b · 0 = 0 gilt, wird es darnach insbesondre gestattet sein, eine Gleichung a = b (oder a = b + 0) in die Form a — b = 0 umzusetzen, dieselbe mithin auch nach demselben Schema, welches in der Arithmetik geläufig ist, rechterhand auf 0 zu bringen. In der That sagt der Ansatz a — b = 0 nach ϰ) aus, dass a b1 = 0 sei, wozu aber noch die Valenzbedingung a1 b = 0 tritt, und dieses läuft nach Th. 24) und 39) zusammen auf a = b hinaus. Wie den Ge- brauch der inversen Operationen überhaupt, so wird man aber auch die Schreibweise a — b = 0 in unsrer Disziplin besser vermeiden. Unberechtigt würde es aber beispielsweise sein, aus der Gleichung a + 0 = a, die allgemein gilt, den Schluss zu ziehen, dass 0 = u a sein müsse bei beliebigem u, nämlich dass 0 dem Generalwert von a ÷ a, nach dem Schema η, λ) gebildet, gleichzusetzen sei. Es gilt dies, da der Term 0 ein vollkommen bekannter, notwendig nur für gewisse u (= v a1, z. B. für u = 0); es darf nur geschlossen werden, u sei einer von den im General-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 486. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/506>, abgerufen am 21.11.2024.