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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Es gibt keine wirkliche Vertauschung, welche hier die Data des
Problems ungeändert liesse: es können x und y hier nicht die Rollen
tauschen und die Aufgabe selbst ist unsymmetrisch. Die Symmetrie
unsrer Lösungen besteht hier gleichwol in dem Sinne, dass weder y
einseitig durch x ausgedrückt wird, noch umgekehrt x durch y, sondern
dass vielmehr beide Unbekannte gleichmässig dargestellt werden durch
zwei unabhängige Parameter a und b. Dass diese Darstellungen so-
gar in Bezug auf letztere symmetrisch erscheinen, dürfte mehr wol
nur als ein Zufall anzusehen sein. Verzichteten wir auf diese Gleich-
mässigkeit, so könnte die Aufgabe schon einfacher mittelst:
x = a, y = a + b,
oder auch mittelst:
x = a b, y = b
in unabhängigen Parametern gelöst werden.

Aufgabe 5. Eine Reihe von Problemen einfachsten Charakters
ergibt sich, indem man fordert, dass von den vier Gliedern der nach
x und y entwickelten Einheit (identischen Eins) irgend eines, irgend
zweie oder irgend dreie verschwinden, dass also von den vier Glei-
chungen:
x y = 0, x y1 = 0, x1 y = 0, x1 y1 = 0
in jeder möglichen Weise eine Gruppe gelten solle und allemal das
System nach x und y symmetrisch allgemein gelöst werde.

Für die erste Gleichung, wenn sie für sich allein gelten soll, ist dies
schon unter Aufgabe 1 geleistet, für die zweite unter Aufgabe 4 und dar-
aus ergibt sich auch die Lösung für die dritte Gleichung, indem man x
und y vertauscht; endlich braucht man, um für die vierte Gleichung die
Lösungen zu finden, nur bei denen der Aufgabe 1 das x, y durch x1, y1
zu ersetzen, somit hier als x und y anzusetzen: die Negationen der an-
gegebnen Wurzeln.

Gleichzeitige Geltung von irgend zweien der vier obigen Gleichungen
führt auf die sechs Aufgaben, je eine von den Gleichungen symmetrisch
allgemein zu lösen:

x y + x y1 = x = 0,x y + x1 y = y = 0,x y + x1 y1 = 0,
x y1 + x1 y = 0,x y1 + x1 y1 = y1 = 0,x1 y + x1 y1 = x1 = 0.

Von diesen bietet nur die dritte und die vierte ein Interesse (siehe
unten). Bei den vier andern Aufgaben fiel nämlich die eine Unbekannte
von selbst heraus; diese bleibt willkürlich und kann einem Parameter a,
oder b, gleichgesetzt werden, wogegen sich die andre Unbekannte gleich 0
resp. 1 bestimmt.

Nach Th. 33+) gibt das Verschwinden irgend dreier von den vier Ter-
men, mithin auch ihrer Summen zu irgend dreien, die Ansätze:

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Es gibt keine wirkliche Vertauschung, welche hier die Data des
Problems ungeändert liesse: es können x und y hier nicht die Rollen
tauschen und die Aufgabe selbst ist unsymmetrisch. Die Symmetrie
unsrer Lösungen besteht hier gleichwol in dem Sinne, dass weder y
einseitig durch x ausgedrückt wird, noch umgekehrt x durch y, sondern
dass vielmehr beide Unbekannte gleichmässig dargestellt werden durch
zwei unabhängige Parameter α und β. Dass diese Darstellungen so-
gar in Bezug auf letztere symmetrisch erscheinen, dürfte mehr wol
nur als ein Zufall anzusehen sein. Verzichteten wir auf diese Gleich-
mässigkeit, so könnte die Aufgabe schon einfacher mittelst:
x = α, y = α + β,
oder auch mittelst:
x = α β, y = β
in unabhängigen Parametern gelöst werden.

Aufgabe 5. Eine Reihe von Problemen einfachsten Charakters
ergibt sich, indem man fordert, dass von den vier Gliedern der nach
x und y entwickelten Einheit (identischen Eins) irgend eines, irgend
zweie oder irgend dreie verschwinden, dass also von den vier Glei-
chungen:
x y = 0, x y1 = 0, x1 y = 0, x1 y1 = 0
in jeder möglichen Weise eine Gruppe gelten solle und allemal das
System nach x und y symmetrisch allgemein gelöst werde.

Für die erste Gleichung, wenn sie für sich allein gelten soll, ist dies
schon unter Aufgabe 1 geleistet, für die zweite unter Aufgabe 4 und dar-
aus ergibt sich auch die Lösung für die dritte Gleichung, indem man x
und y vertauscht; endlich braucht man, um für die vierte Gleichung die
Lösungen zu finden, nur bei denen der Aufgabe 1 das x, y durch x1, y1
zu ersetzen, somit hier als x und y anzusetzen: die Negationen der an-
gegebnen Wurzeln.

Gleichzeitige Geltung von irgend zweien der vier obigen Gleichungen
führt auf die sechs Aufgaben, je eine von den Gleichungen symmetrisch
allgemein zu lösen:

x y + x y1 = x = 0,x y + x1 y = y = 0,x y + x1 y1 = 0,
x y1 + x1 y = 0,x y1 + x1 y1 = y1 = 0,x1 y + x1 y1 = x1 = 0.

Von diesen bietet nur die dritte und die vierte ein Interesse (siehe
unten). Bei den vier andern Aufgaben fiel nämlich die eine Unbekannte
von selbst heraus; diese bleibt willkürlich und kann einem Parameter α,
oder β, gleichgesetzt werden, wogegen sich die andre Unbekannte gleich 0
resp. 1 bestimmt.

Nach Th. 33+) gibt das Verschwinden irgend dreier von den vier Ter-
men, mithin auch ihrer Summen zu irgend dreien, die Ansätze:

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[505/0525] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. Es gibt keine wirkliche Vertauschung, welche hier die Data des Problems ungeändert liesse: es können x und y hier nicht die Rollen tauschen und die Aufgabe selbst ist unsymmetrisch. Die Symmetrie unsrer Lösungen besteht hier gleichwol in dem Sinne, dass weder y einseitig durch x ausgedrückt wird, noch umgekehrt x durch y, sondern dass vielmehr beide Unbekannte gleichmässig dargestellt werden durch zwei unabhängige Parameter α und β. Dass diese Darstellungen so- gar in Bezug auf letztere symmetrisch erscheinen, dürfte mehr wol nur als ein Zufall anzusehen sein. Verzichteten wir auf diese Gleich- mässigkeit, so könnte die Aufgabe schon einfacher mittelst: x = α, y = α + β, oder auch mittelst: x = α β, y = β in unabhängigen Parametern gelöst werden. Aufgabe 5. Eine Reihe von Problemen einfachsten Charakters ergibt sich, indem man fordert, dass von den vier Gliedern der nach x und y entwickelten Einheit (identischen Eins) irgend eines, irgend zweie oder irgend dreie verschwinden, dass also von den vier Glei- chungen: x y = 0, x y1 = 0, x1 y = 0, x1 y1 = 0 in jeder möglichen Weise eine Gruppe gelten solle und allemal das System nach x und y symmetrisch allgemein gelöst werde. Für die erste Gleichung, wenn sie für sich allein gelten soll, ist dies schon unter Aufgabe 1 geleistet, für die zweite unter Aufgabe 4 und dar- aus ergibt sich auch die Lösung für die dritte Gleichung, indem man x und y vertauscht; endlich braucht man, um für die vierte Gleichung die Lösungen zu finden, nur bei denen der Aufgabe 1 das x, y durch x1, y1 zu ersetzen, somit hier als x und y anzusetzen: die Negationen der an- gegebnen Wurzeln. Gleichzeitige Geltung von irgend zweien der vier obigen Gleichungen führt auf die sechs Aufgaben, je eine von den Gleichungen symmetrisch allgemein zu lösen: x y + x y1 = x = 0, x y + x1 y = y = 0, x y + x1 y1 = 0, x y1 + x1 y = 0, x y1 + x1 y1 = y1 = 0, x1 y + x1 y1 = x1 = 0. Von diesen bietet nur die dritte und die vierte ein Interesse (siehe unten). Bei den vier andern Aufgaben fiel nämlich die eine Unbekannte von selbst heraus; diese bleibt willkürlich und kann einem Parameter α, oder β, gleichgesetzt werden, wogegen sich die andre Unbekannte gleich 0 resp. 1 bestimmt. Nach Th. 33+) gibt das Verschwinden irgend dreier von den vier Ter- men, mithin auch ihrer Summen zu irgend dreien, die Ansätze:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 505. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/525>, abgerufen am 22.11.2024.