Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zuweilen aber führt die Einsetzung jener Darstellungen für die
Unbekannten zu einer Relation zwischen den Parametern, welche von
diesen erst erfüllt werden müsste. Die Aufgabe ist alsdann wenigstens
auf die andre zurückgeführt: diese Relation nunmehr nach besagten
Parametern als Unbekannten symmetrisch allgemein zu lösen. Hätten
wir schon deren Wurzeln, so würde ihre Substitution in die früheren
Gleichungen uns auch die ursprünglichen Unbekannten darstellen lehren.

Die Hülfsaufgabe, auf die wir so geführt werden, kann sehr viel
einfacher und leichter sein, als wie die ursprüngliche, in welchen
Fällen wir schrittweise zum Ziel gelangen werden. Allein es kommt
auch vor, dass die für die Parameter resultirende Relation oder Hülfs-
gleichung genau von derselben Form ist, wie die ursprüngliche ver-
einigte Gleichung in Bezug auf die ursprünglichen Unbekannten es
war, sodass das Problem wesentlich -- bis auf die nunmehr durch
andere vertretenen Namen der Unbekannten (und vielleicht Koeffizien-
ten) -- dasselbe geblieben ist, und es, auf die gleiche Art von neuem
in Angriff genommen, in Ewigkeit bleiben müsste. Alsdann vermögen
nur andersartige Kunstgriffe aus dem Zirkel herauszuführen -- wofern
überhaupt das Problem ein lösbares.

Es werden fernere Beispiele dies nach und nach illustriren.

Aufgabe 4. Die Subsumtion:
x y
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung. Die Gleichung x y1 = 0, mit der unsre Subsumtion
äquivalent, ist dies auch wieder mit den beiden:
x = x y und y = x + y.
Nach der auseinandergesetzten Methode gelangen wir also zu den
Formeln:
x = a b o1 + a1 b1 o, y = (a + b) o1 + (a1 + b1) o
welche auch schon für o = 0 angesetzt werden konnten als:
x = a b, y = a + b,
und die Aufgabe lösen.

Ebenso konnte aber auch die Lösung schon aus der bei Aufgabe 1
gegebenen abgeleitet werden, indem man nach dortigen Schemata die Glei-
chung x y1 = 0 symmetrisch allgemein löst nach den Unbekannten x und
y1; für diese hat man die l. c. aufgestellten Ausdrücke und ergibt noch
aus dem letztern sich y selbst durch beiderseitiges Negiren. Man bekommt
die nämlichen Formeln, wie vorstehend, bis auf den Umstand, dass der
Parameter b mit seiner Negation gewechselt.

Zuweilen aber führt die Einsetzung jener Darstellungen für die
Unbekannten zu einer Relation zwischen den Parametern, welche von
diesen erst erfüllt werden müsste. Die Aufgabe ist alsdann wenigstens
auf die andre zurückgeführt: diese Relation nunmehr nach besagten
Parametern als Unbekannten symmetrisch allgemein zu lösen. Hätten
wir schon deren Wurzeln, so würde ihre Substitution in die früheren
Gleichungen uns auch die ursprünglichen Unbekannten darstellen lehren.

Die Hülfsaufgabe, auf die wir so geführt werden, kann sehr viel
einfacher und leichter sein, als wie die ursprüngliche, in welchen
Fällen wir schrittweise zum Ziel gelangen werden. Allein es kommt
auch vor, dass die für die Parameter resultirende Relation oder Hülfs-
gleichung genau von derselben Form ist, wie die ursprüngliche ver-
einigte Gleichung in Bezug auf die ursprünglichen Unbekannten es
war, sodass das Problem wesentlich — bis auf die nunmehr durch
andere vertretenen Namen der Unbekannten (und vielleicht Koeffizien-
ten) — dasselbe geblieben ist, und es, auf die gleiche Art von neuem
in Angriff genommen, in Ewigkeit bleiben müsste. Alsdann vermögen
nur andersartige Kunstgriffe aus dem Zirkel herauszuführen — wofern
überhaupt das Problem ein lösbares.

Es werden fernere Beispiele dies nach und nach illustriren.

Aufgabe 4. Die Subsumtion:
x ⋹ y
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung. Die Gleichung x y1 = 0, mit der unsre Subsumtion
äquivalent, ist dies auch wieder mit den beiden:
x = x y und y = x + y.
Nach der auseinandergesetzten Methode gelangen wir also zu den
Formeln:
x = α β ω1 + α1 β1 ω, y = (α + β) ω1 + (α1 + β1) ω
welche auch schon für ω = 0 angesetzt werden konnten als:
x = α β, y = α + β,
und die Aufgabe lösen.

Ebenso konnte aber auch die Lösung schon aus der bei Aufgabe 1
gegebenen abgeleitet werden, indem man nach dortigen Schemata die Glei-
chung x y1 = 0 symmetrisch allgemein löst nach den Unbekannten x und
y1; für diese hat man die l. c. aufgestellten Ausdrücke und ergibt noch
aus dem letztern sich y selbst durch beiderseitiges Negiren. Man bekommt
die nämlichen Formeln, wie vorstehend, bis auf den Umstand, dass der
Parameter β mit seiner Negation gewechselt.