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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
-- welche links die Glieder der in Aufgabe 8, Anmerkung und Auf-
gabe 10 gegebenen Gleichungen zusammenfasst -- symmetrisch allgemein
zu lösen.

Die Darstellungen für die Wurzeln müssen -- hiernach -- sich er-
geben, wenn man in die bei der Aufgabe 7 gefundenen Ausdrücke die-
jenigen Parameterwerte substituirt, welche die Forderung der Auf-
gabe 10:
a b g + a1 b1 g1 = 0
symmetrisch allgemein erfüllen.

Anmerkung. Vertauschte man noch die Unbekannten mit ihren
Negationen, so ergäben sich daraus weiter die Lösungen für eine Auf-
gabe, welche die Glieder aus den Aufgaben 7 und 10 zusammenfasste. --

Mit vorstehenden Aufgaben würden alle diejenigen erledigt sein,
welche irgend Interesse bieten von jenen, die unter den sub Aufgabe 5
angegebnen Gesichtspunkt fallen.

Aufgabe 12. Die Gleichung:
x y1 + x1 y = c
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung.

Die in Aufgabe 6 gelöste Gleichung hätte nach Jevons' dort citirtem
Theorem auch angeschrieben werden können in der Gestalt:
x y1 + x1 y = z,
woraus ersichtlich ist, dass die dortige von der hier vorliegenden Aufgabe
sich nur dadurch unterscheidet, dass jetzt z nicht mehr unbekannt sein,
sondern einen gegebenen Wert c besitzen soll.

Wollte man die Lösungen der Aufgabe 6 zur Auffindung der Wur-
zeln der obigen 12 benutzen, so bliebe man in den Zirkel gebannt, für
die unbestimmten Parameter a und b jener Lösungen eine Gleichung
a1 b + a b1 = c von genau der nämlichen Form, wie die vorstehende lösen
zu müssen, und so ohne Ende fort weiter, falls man abermals neue Para-
meter zur Darstellung der letztern einführen wollte.

Eliminirt man x und y aus der rechts auf 0 gebrachten Gleichung,
so resultirt 0 = 0, woraus zu erkennen ist, dass c vollkommen will-
kürlich gegeben werden kann. Die Gleichung lautet:
c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0.
Das systematische Verfahren führt (ebenfalls) hier zum Zirkel:

Nach dem vollen Schema wird man unschwer die Darstellungen ge-
winnen:
x = c b1 + c1 b, y = c a1 + c1 a
(in Bestätigung von Jevons' Theorem) und müssen dann aber, damit die

Schröder, Algebra der Logik. 33

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
— welche links die Glieder der in Aufgabe 8, Anmerkung und Auf-
gabe 10 gegebenen Gleichungen zusammenfasst — symmetrisch allgemein
zu lösen.

Die Darstellungen für die Wurzeln müssen — hiernach — sich er-
geben, wenn man in die bei der Aufgabe 7 gefundenen Ausdrücke die-
jenigen Parameterwerte substituirt, welche die Forderung der Auf-
gabe 10:
α β γ + α1 β1 γ1 = 0
symmetrisch allgemein erfüllen.

Anmerkung. Vertauschte man noch die Unbekannten mit ihren
Negationen, so ergäben sich daraus weiter die Lösungen für eine Auf-
gabe, welche die Glieder aus den Aufgaben 7 und 10 zusammenfasste. —

Mit vorstehenden Aufgaben würden alle diejenigen erledigt sein,
welche irgend Interesse bieten von jenen, die unter den sub Aufgabe 5
angegebnen Gesichtspunkt fallen.

Aufgabe 12. Die Gleichung:
x y1 + x1 y = c
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung.

Die in Aufgabe 6 gelöste Gleichung hätte nach Jevons' dort citirtem
Theorem auch angeschrieben werden können in der Gestalt:
x y1 + x1 y = z,
woraus ersichtlich ist, dass die dortige von der hier vorliegenden Aufgabe
sich nur dadurch unterscheidet, dass jetzt z nicht mehr unbekannt sein,
sondern einen gegebenen Wert c besitzen soll.

Wollte man die Lösungen der Aufgabe 6 zur Auffindung der Wur-
zeln der obigen 12 benutzen, so bliebe man in den Zirkel gebannt, für
die unbestimmten Parameter α und β jener Lösungen eine Gleichung
α1 β + α β1 = c von genau der nämlichen Form, wie die vorstehende lösen
zu müssen, und so ohne Ende fort weiter, falls man abermals neue Para-
meter zur Darstellung der letztern einführen wollte.

Eliminirt man x und y aus der rechts auf 0 gebrachten Gleichung,
so resultirt 0 = 0, woraus zu erkennen ist, dass c vollkommen will-
kürlich gegeben werden kann. Die Gleichung lautet:
c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0.
Das systematische Verfahren führt (ebenfalls) hier zum Zirkel:

Nach dem vollen Schema wird man unschwer die Darstellungen ge-
winnen:
x = c β1 + c1 β, y = c α1 + c1 α
(in Bestätigung von Jevons' Theorem) und müssen dann aber, damit die

Schröder, Algebra der Logik. 33
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[513/0533] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. — welche links die Glieder der in Aufgabe 8, Anmerkung und Auf- gabe 10 gegebenen Gleichungen zusammenfasst — symmetrisch allgemein zu lösen. Die Darstellungen für die Wurzeln müssen — hiernach — sich er- geben, wenn man in die bei der Aufgabe 7 gefundenen Ausdrücke die- jenigen Parameterwerte substituirt, welche die Forderung der Auf- gabe 10: α β γ + α1 β1 γ1 = 0 symmetrisch allgemein erfüllen. Anmerkung. Vertauschte man noch die Unbekannten mit ihren Negationen, so ergäben sich daraus weiter die Lösungen für eine Auf- gabe, welche die Glieder aus den Aufgaben 7 und 10 zusammenfasste. — Mit vorstehenden Aufgaben würden alle diejenigen erledigt sein, welche irgend Interesse bieten von jenen, die unter den sub Aufgabe 5 angegebnen Gesichtspunkt fallen. Aufgabe 12. Die Gleichung: x y1 + x1 y = c nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen. Auflösung. Die in Aufgabe 6 gelöste Gleichung hätte nach Jevons' dort citirtem Theorem auch angeschrieben werden können in der Gestalt: x y1 + x1 y = z, woraus ersichtlich ist, dass die dortige von der hier vorliegenden Aufgabe sich nur dadurch unterscheidet, dass jetzt z nicht mehr unbekannt sein, sondern einen gegebenen Wert c besitzen soll. Wollte man die Lösungen der Aufgabe 6 zur Auffindung der Wur- zeln der obigen 12 benutzen, so bliebe man in den Zirkel gebannt, für die unbestimmten Parameter α und β jener Lösungen eine Gleichung α1 β + α β1 = c von genau der nämlichen Form, wie die vorstehende lösen zu müssen, und so ohne Ende fort weiter, falls man abermals neue Para- meter zur Darstellung der letztern einführen wollte. Eliminirt man x und y aus der rechts auf 0 gebrachten Gleichung, so resultirt 0 = 0, woraus zu erkennen ist, dass c vollkommen will- kürlich gegeben werden kann. Die Gleichung lautet: c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0. Das systematische Verfahren führt (ebenfalls) hier zum Zirkel: Nach dem vollen Schema wird man unschwer die Darstellungen ge- winnen: x = c β1 + c1 β, y = c α1 + c1 α (in Bestätigung von Jevons' Theorem) und müssen dann aber, damit die Schröder, Algebra der Logik. 33

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 513. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/533>, abgerufen am 21.11.2024.