gelegte Gleichung erfüllende Wertepaar x, y darzustellen im stande sein, q. e. d. --
Selbstredend können solche Parameterwerte, welche dieses leisten, wie soeben die für a und b angegebenen, auch systematisch aufgefunden wer- den, indem man unsre die Wurzeln darstellenden Gleichungen mit der ursprünglichen Gleichung des Problems "vereinigt" und nach den Unbe- kannten a, b auflöst. Es genügt dann aber für diese nur irgend ein System von Partikularlösungen zu entdecken, wobei man denjenigen vom einfach- sten Ausdrucke den Vorzug geben wird.
Zur Übung für den Studirenden führen wir noch folgende beiden Auf- gaben mit ihren Lösungen ohne weitere Bemerkung an.
Aufgabe 13. Die Gleichung: x y = a nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung: x = a + a b1, y = a + a1b.
Aufgabe 14. Das Gleichungenpaar: x y = a, x1y1 = b symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung. Es müssen a und b die Voraussetzung: a b = 0 erfüllen, womit sich: a = a b1, b = a1b ergibt. Alsdann sind: x = a + g b1, x1 = b + g1a1 y = a + g1b1, y1 = b + g a1 die gesuchten Lösungen. Um gegebene x, y zu erhalten, braucht man blos g = x y1 oder auch g = x + y1 (oder irgendwie dazwischen) zu nehmen.
Wir gehen nunmehr zu einer letzten und Hauptaufgabe über.
Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y: a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0 -- kürzer: F = 0 -- soll nach diesen symmetrisch allgemein gelöst werden.
Auflösung. Durch Elimination von x, y resultirt zwischen den Koeffizienten der Gleichung die Relation: a b c d = 0 und diese ist zunächst identisch zu erfüllen, indem man gemäss Auf- gabe 3 für jene Koeffizienten in unabhängigen Parametern die Aus- drücke nimmt:
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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
gelegte Gleichung erfüllende Wertepaar x, y darzustellen im stande sein, q. e. d. —
Selbstredend können solche Parameterwerte, welche dieses leisten, wie soeben die für α und β angegebenen, auch systematisch aufgefunden wer- den, indem man unsre die Wurzeln darstellenden Gleichungen mit der ursprünglichen Gleichung des Problems „vereinigt“ und nach den Unbe- kannten α, β auflöst. Es genügt dann aber für diese nur irgend ein System von Partikularlösungen zu entdecken, wobei man denjenigen vom einfach- sten Ausdrucke den Vorzug geben wird.
Zur Übung für den Studirenden führen wir noch folgende beiden Auf- gaben mit ihren Lösungen ohne weitere Bemerkung an.
Aufgabe 13. Die Gleichung: x y = a nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung: x = a + α β1, y = a + α1β.
Aufgabe 14. Das Gleichungenpaar: x y = a, x1y1 = b symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung. Es müssen a und b die Voraussetzung: a b = 0 erfüllen, womit sich: a = α β1, b = α1β ergibt. Alsdann sind: x = a + γ b1, x1 = b + γ1a1 y = a + γ1b1, y1 = b + γ a1 die gesuchten Lösungen. Um gegebene x, y zu erhalten, braucht man blos γ = x y1 oder auch γ = x + y1 (oder irgendwie dazwischen) zu nehmen.
Wir gehen nunmehr zu einer letzten und Hauptaufgabe über.
Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y: a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0 — kürzer: F = 0 — soll nach diesen symmetrisch allgemein gelöst werden.
Auflösung. Durch Elimination von x, y resultirt zwischen den Koeffizienten der Gleichung die Relation: a b c d = 0 und diese ist zunächst identisch zu erfüllen, indem man gemäss Auf- gabe 3 für jene Koeffizienten in unabhängigen Parametern die Aus- drücke nimmt:
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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
gelegte Gleichung erfüllende Wertepaar x, y darzustellen im stande
sein, q. e. d. —
Selbstredend können solche Parameterwerte, welche dieses leisten, wie
soeben die für α und β angegebenen, auch systematisch aufgefunden wer-
den, indem man unsre die Wurzeln darstellenden Gleichungen mit der
ursprünglichen Gleichung des Problems „vereinigt“ und nach den Unbe-
kannten α, β auflöst. Es genügt dann aber für diese nur irgend ein System
von Partikularlösungen zu entdecken, wobei man denjenigen vom einfach-
sten Ausdrucke den Vorzug geben wird.
Zur Übung für den Studirenden führen wir noch folgende beiden Auf-
gaben mit ihren Lösungen ohne weitere Bemerkung an.
Aufgabe 13. Die Gleichung:
x y = a
nach x und y symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung: x = a + α β1, y = a + α1 β.
Aufgabe 14. Das Gleichungenpaar:
x y = a, x1 y1 = b
symmetrisch allgemein zu lösen.
Auflösung. Es müssen a und b die Voraussetzung:
a b = 0
erfüllen, womit sich: a = α β1, b = α1 β ergibt. Alsdann sind:
x = a + γ b1, x1 = b + γ1 a1
y = a + γ1 b1, y1 = b + γ a1
die gesuchten Lösungen. Um gegebene x, y zu erhalten, braucht man blos
γ = x y1 oder auch γ = x + y1 (oder irgendwie dazwischen) zu nehmen.
Wir gehen nunmehr zu einer letzten und Hauptaufgabe über.
Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y:
a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0
— kürzer: F = 0 — soll nach diesen symmetrisch allgemein gelöst werden.
Auflösung. Durch Elimination von x, y resultirt zwischen den
Koeffizienten der Gleichung die Relation:
a b c d = 0
und diese ist zunächst identisch zu erfüllen, indem man gemäss Auf-
gabe 3 für jene Koeffizienten in unabhängigen Parametern die Aus-
drücke nimmt:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 515. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/535>, abgerufen am 21.11.2024.
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