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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit
x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass:
x x + y + z1 und y z x + y + z1
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit
x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x x + y1 + z1
aber nicht y z x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse
sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein
müsste. Etc.

Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:
(a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
-- diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg -- "entwickelt"
werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass
23 + 9 -- 3 x 3 -- 3 = 5
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:
a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1,
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:
= a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. --

Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge-
suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren
auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ-
lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen
ihm Peirce den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein-
andergesetzt wurden.

Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1,
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-
tor sogleich:
(b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c)
-- etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und
b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst.

Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des
Th. 27x) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel
zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch-
staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,
weiter:
x + y = x + y + z z1 = (x + y + z) (x + y + z1)

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit
x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass:
x ⋹ x + y + z1 und y z ⋹ x + y + z1
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit
x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x ⋹ x + y1 + z1
aber nicht y z ⋹ x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse
sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein
müsste. Etc.

Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:
(a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
— diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg — „entwickelt“
werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass
23 + 9 — 3 × 3 — 3 = 5
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:
a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1,
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:
= a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. —

Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1,
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-
tor sogleich:
(b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c)
— etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und
b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst.

Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des
Th. 27×) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel
zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch-
staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,
weiter:
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[583/0603] § 27. Methoden von McColl und Peirce. so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass: x ⋹ x + y + z1 und y z ⋹ x + y + z1 ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste. Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge- suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x ⋹ x + y1 + z1 aber nicht y z ⋹ x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein müsste. Etc. Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck: (a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c) — diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg — „entwickelt“ werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass 23 + 9 — 3 × 3 — 3 = 5 die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese: a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1, welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber- stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach: = a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. — Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge- suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ- lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen ihm Peirce den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein- andergesetzt wurden. Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli- ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1, hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak- tor sogleich: (b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c) — etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst. Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des Th. 27×) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch- staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält, weiter: x + y = x + y + z z1 = (x + y + z) (x + y + z1)

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 583. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/603>, abgerufen am 24.11.2024.

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