Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit
x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass:
x x + y + z1 und y z x + y + z1
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit
x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x x + y1 + z1
aber nicht y z x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse
sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein
müsste. Etc.

Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:
(a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
-- diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg -- "entwickelt"
werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass
23 + 9 -- 3 x 3 -- 3 = 5
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:
a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1,
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:
= a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. --

Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge-
suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren
auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ-
lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen
ihm Peirce den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein-
andergesetzt wurden.

Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1,
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-
tor sogleich:
(b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c)
-- etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und
b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst.

Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des
Th. 27x) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel
zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch-
staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,
weiter:
x + y = x + y + z z1 = (x + y + z) (x + y + z1)

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit
x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass:
x ⋹ x + y + z1 und y z ⋹ x + y + z1
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit
x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x ⋹ x + y1 + z1
aber nicht y z ⋹ x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse
sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein
müsste. Etc.

Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:
(a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
— diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg — „entwickelt“
werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass
23 + 9 — 3 × 3 — 3 = 5
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:
a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1,
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:
= a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. —

Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1,
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-
tor sogleich:
(b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c)
— etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und
b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst.

Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des
Th. 27×) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel
zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch-
staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,
weiter:
x + y = x + y + z z1 = (x + y + z) (x + y + z1)

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0603" n="583"/><fw place="top" type="header">§ 27. Methoden von <hi rendition="#g">McColl</hi> und <hi rendition="#g">Peirce</hi>.</fw><lb/>
so ist <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi> ein Faktor unseres Ausdrucks <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi>. Um die Probe mit<lb/><hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zu machen, haben wir zu bemerken, dass:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">y z</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste.<lb/>
Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">z</hi> den Versuch<lb/>
machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge-<lb/>
suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit<lb/><hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar <hi rendition="#i">x</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
aber <hi rendition="#i">nicht y z</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> sein müsste, und bezüglich <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> liesse<lb/>
sich weder einsehen, dass <hi rendition="#i">x</hi>, noch dass <hi rendition="#i">y z</hi> demselben eingeordnet sein<lb/>
müsste. Etc.</p><lb/>
          <p>Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
&#x2014; diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg &#x2014; &#x201E;entwickelt&#x201C;<lb/>
werden, so wäre <hi rendition="#i">m</hi> = 3, <hi rendition="#i">n</hi> = 9, <hi rendition="#i">p</hi> = 3, sodass<lb/><hi rendition="#c">2<hi rendition="#sup">3</hi> + 9 &#x2014; 3 × 3 &#x2014; 3 = 5</hi><lb/>
die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder<lb/>
ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi><lb/>
sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">b c</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber-<lb/>
stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach:<lb/><hi rendition="#c">= <hi rendition="#i">a b c</hi> + <hi rendition="#i">a b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>. &#x2014;</hi></p><lb/>
          <p>Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge-<lb/>
suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren<lb/>
auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ-<lb/>
lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen<lb/>
ihm <hi rendition="#g">Peirce</hi> den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein-<lb/>
andergesetzt wurden.</p><lb/>
          <p>Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli-<lb/>
ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/>
hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben<lb/>
wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak-<lb/>
tor sogleich:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>)</hi><lb/>
&#x2014; etwa bei (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) den Faktor <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> gemäss Th. 33<hi rendition="#sub">+</hi>) Zusatz beifügend, und<lb/><hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> beim Multipliziren mit <hi rendition="#i">a</hi> vollends entwickelnd gemäss Th. 33<hi rendition="#sub">+</hi>) selbst.</p><lb/>
          <p>Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des<lb/>
Th. 27<hi rendition="#sub">×</hi>) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel<lb/>
zuerst <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y z</hi> in (<hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">z</hi>) übergeht, sodann weil <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> den Buch-<lb/>
staben <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">z</hi> aber den <hi rendition="#i">y</hi> noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält,<lb/>
weiter:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[583/0603] § 27. Methoden von McColl und Peirce. so ist x + y + z ein Faktor unseres Ausdrucks x + y z. Um die Probe mit x + y + z1 zu machen, haben wir zu bemerken, dass: x ⋹ x + y + z1 und y z ⋹ x + y + z1 ist, sodass dies ebenfalls einer von den gesuchten Faktoren sein musste. Das nämliche stellt sich heraus, wenn wir mit x + y1 + z den Versuch machen, womit also (hier zufällig bei den drei ersten Versuchen) die ge- suchten Faktoren schon vollzählig gefunden sind. Dagegen würde z. B. mit x + y1 + z1 der Versuch fehlgeschlagen haben, indem zwar x ⋹ x + y1 + z1 aber nicht y z ⋹ x + y1 + z1 sein müsste, und bezüglich x1 + y1 + z1 liesse sich weder einsehen, dass x, noch dass y z demselben eingeordnet sein müsste. Etc. Sollte ebenso beispielsweise der Ausdruck: (a + b + c) (a + b1 + c1) (a1 + b + c) — diesmal in die Form einer Summe, also schlechtweg — „entwickelt“ werden, so wäre m = 3, n = 9, p = 3, sodass 23 + 9 — 3 × 3 — 3 = 5 die a priori bestimmte Anzahl der zu gewärtigenden Entwickelungsglieder ist. Von den acht Konstituenten der Entwickelung (von 1) nach a, b, c sind daher nur dreie hier ausgeschlossen, und zwar sind es diese: a1 b1 c1, a1 b c, a b1 c1, welche allein nicht in allen drei Faktoren, nämlich in den gerade darüber- stehenden nicht, sich enthalten erweisen. Der Ausdruck ist sonach: = a b c + a b c1 + a b1 c + a1 b c1 + a1 b1 c. — Die Vorausbestimmung der Anzahl Glieder resp. Faktoren der ge- suchten Entwickelung erscheint mir zwar verdienstlich, das ganze Verfahren auch in der That nicht schwierig, jedoch (im allgemeinen) als zu umständ- lich und ermüdend gegenüber denjenigen Verfahrungsweisen, vor welchen ihm Peirce den Vorzug zuerkennen will, und die schon im § 13 ausein- andergesetzt wurden. Ich würde bei Aufgaben der letzterwähnten Art judiziöses Ausmultipli- ziren vorziehen, wo noch Faktoren fehlen dieselben in Gestalt von 1, = x + x1, hinzufügend, wiederholten Ansatz eines Gliedes aber vermeidend. So haben wir, in dem Beispiel, durch Vereinigung des ersten mit dem dritten Fak- tor sogleich: (b + c) (a + b1 + c1) = a (b c + b c1 + b1 c) + a1 (b c1 + b1 c) — etwa bei (b1 + c1) den Faktor a1 gemäss Th. 33+) Zusatz beifügend, und b + c beim Multipliziren mit a vollends entwickelnd gemäss Th. 33+) selbst. Bei den Aufgaben der vorigen Art aber scheint mir das Schema des Th. 27×) am bequemsten verwendet zu werden, wonach in obigem Beispiel zuerst x + y z in (x + y) (x + z) übergeht, sodann weil x + y den Buch- staben z, x + z aber den y noch nicht, wie es erforderlich wäre, enthält, weiter: x + y = x + y + z z1 = (x + y + z) (x + y + z1)

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/603
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 583. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/603>, abgerufen am 18.02.2025.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2025 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften (Kontakt).

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2025. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.