ph (0) ph (1) ps1 (0) ps1 (1) = 0 resp. 1 = ph1 (1) + ph1 (0) + ps (1) + ps (0) -- oder auch für = geschrieben.
Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu derselben Resultante zu kommen, zu welcher Boole gelangen würde, indem er die Gleichung ph (x) ps1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro- dukt der Koeffizienten = 0 setzte.
Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub- sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara (oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende Weise ergeben in den Formen: ph (0) ps1 (0) ph1 (1) + ps (1), ph (1) ps1 (1) ph1 (0) + ps (0).
Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor -- wofür meines Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. --
Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen operirt, erhellt aus folgendem.
Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen, wie oben gezeigt in zweie von der Form ax, bx1 aufgelöst, zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen: a1x, a2x, ..., anx, b1x1, b2x1, ... bnx1, und lassen diese n Paare nach Def. (3+) sich zusammenziehen in: a1 + a2 + ... anx, b1 + b2 + ... bnx1, welche beiden Subsumtionen zusammen dessen "Auflösung" nach x vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt: (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... bn) 0 die Resultante der Elimination des x sein wird.
Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante -- nämlich der a b = 0 für die Prämissen ax, bx1 -- wäre nach unsern Betrach- tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben.
Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro- bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung. Irgendwelche Vorteile in Hinsicht der Druckersparniss, Vermehrung
§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
φ (0) φ (1) ψ1 (0) ψ1 (1) = 0 resp. 1 = φ1 (1) + φ1 (0) + ψ (1) + ψ (0) — oder auch ⋹ für = geschrieben.
Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu derselben Resultante zu kommen, zu welcher Boole gelangen würde, indem er die Gleichung φ (x) ψ1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro- dukt der Koeffizienten = 0 setzte.
Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub- sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara (oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende Weise ergeben in den Formen: φ (0) ψ1 (0) ⋹ φ1 (1) + ψ (1), φ (1) ψ1 (1) ⋹ φ1 (0) + ψ (0).
Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor — wofür meines Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. —
Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen operirt, erhellt aus folgendem.
Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen, wie oben gezeigt in zweie von der Form α ⋹ x, β ⋹ x1 aufgelöst, zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen: α1 ⋹ x, α2 ⋹ x, …, αn ⋹ x, β1 ⋹ x1, β2 ⋹ x1, … βn ⋹ x1, und lassen diese n Paare nach Def. (3+) sich zusammenziehen in: α1 + α2 + … αn ⋹ x, β1 + β2 + … βn ⋹ x1, welche beiden Subsumtionen zusammen dessen „Auflösung“ nach x vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt: (α1 + α2 + … + αn) (β1 + β2 + … βn) ⋹ 0 die Resultante der Elimination des x sein wird.
Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante — nämlich der α β = 0 für die Prämissen α ⋹ x, β ⋹ x1 — wäre nach unsern Betrach- tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben.
Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro- bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung. Irgendwelche Vorteile in Hinsicht der Druckersparniss, Vermehrung
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— oder auch ⋹ für = geschrieben.
Ich denke, man erkennt, dass dies nur eine andere Manier ist, zu
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er die Gleichung φ (x) ψ1 (x) = 0 links nach x entwickelte und das Pro-
dukt der Koeffizienten = 0 setzte.
Verbände man dagegen diagonal oder über's Kreuz je zwei Sub-
sumtionen aus den beiderlei Zeilen vermittelst des Syllogismus Barbara
(oder Prinzips II) um x oder x1 zu eliminiren, so würde sich diese
Resultante auf eine dem Verfahren von Peirce näher kommende
Weise ergeben in den Formen:
φ (0) ψ1 (0) ⋹ φ1 (1) + ψ (1), φ (1) ψ1 (1) ⋹ φ1 (0) + ψ (0).
Die beiden Subsumtionen einer (der ersten) Zeile aber stellen für
McColl die Auflösung nach der Unbekannten x vor — wofür meines
Erachtens wieder diejenigen der Hauptdiagonale den Vorzug verdienen
würden, gleichwie dann auch die Subsumtionen der Nebendiagonale
die Auflösung nach x1 am besten darstellen werden. —
Die Art, wie hienach McColl mit Systemen von Subsumtionen
operirt, erhellt aus folgendem.
Nachdem jede einzelne von den gegebenen Prämissensubsumtionen,
wie oben gezeigt in zweie von der Form α ⋹ x, β ⋹ x1 aufgelöst,
zerfällt ist, können wir als unser Prämissensystem ansehen:
α1 ⋹ x, α2 ⋹ x, …, αn ⋹ x,
β1 ⋹ x1, β2 ⋹ x1, … βn ⋹ x1,
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α1 + α2 + … αn ⋹ x,
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welche beiden Subsumtionen zusammen dessen „Auflösung“ nach x
vorstellen, wogegen deren überschiebend gebildetes Produkt:
(α1 + α2 + … + αn) (β1 + β2 + … βn) ⋹ 0
die Resultante der Elimination des x sein wird.
Ein Beweis für die Vollständigkeit dieser Resultante — nämlich der
α β = 0 für die Prämissen α ⋹ x, β ⋹ x1 — wäre nach unsern Betrach-
tungen in § 21 leicht zu erbringen (resp. ist dort selbst implicite bereits
erbracht), ist jedoch von McColl nicht gegeben.
Nach vorstehendem Schema behandelt McColl verschiedene Pro-
bleme, namentlich von Boole, darunter auch die bekannte 1. Aufgabe
des § 25 und diese mittelst zwei (ein halb) Druckseiten Rechnung.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 591. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/611>, abgerufen am 25.11.2024.
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