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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Vierzehnte Vorlesung.
der Übersicht oder Erleichterung der Arbeit gegenüber den schon
auseinandergesetzten (und teilweise allerdings der McColl'schen sich
nähernden) Behandlungsweisen vermag ich aber nicht dabei wahrzu-
nehmen. --

Wo mehrere Argumente als Eliminanden oder Unbekannte gleich-
zeitig in Betracht kommen, verfährt übrigens McColl nicht etwa rein nach
dem oben geschilderten Schema für eines nach dem andern von diesen.
Vielmehr müssen wir, um vollständig sein Zuwerkegehen charakterisirt zu
haben und den bis incl. zu unserm § 32 vorgeschrittenen Leser in den
Stand zu setzen, die von McColl behandelten Probleme genau in seiner
Weise (nach-)rechnen zu können, etwas vorgreifend noch folgendes bemerken.

Sei F (x, y, z, ..) ein Prämissensystem, z. B. ein aussagenrechnerisch
angesetztes "Produkt" von Subsumtionen, so wird dasselbe laut Voraus-
setzung gelten, somit den Wert der 1 des Aussagenkalkuls haben. Irgend
ein Konstituent (einer Entwickelung) nach den Argumenten x, y, z, ..,
z. B. x y1 z1 .., wird daher mit diesem Faktor F (x, y, z ..), der ja 1 ist,
versehen werden dürfen, sodass
x y1 z1 .. = x y1 z1 ... F (x, y, z ..).
Nach dem im Schlusspassus der S. 589 gegebenen Satze (und mit Rück-
sicht auf dessen zulässige im Kontext der folgenden Seite schon angedeutete
Erweiterung) ist aber die rechte Seite dieser Gleichung = x y1 z1 ... F (1, 0, 0, ..)
und somit F (1, 0, 0, ..) kraft Th. 6x). Sonach ergibt sich in der Gestalt:
x y1 z1 .. F (1, 0, 0, ..)
ein Prädikat zu dem gedachten Konstituenten, welches sich zunächst
wiederum als ein Produkt von Subsumtionen darstellt, worin aber die
Argumente nicht mehr vorkommen. Dasselbe wird nun nach den in § 32
gegebnen Schemata, insbesondre dem l), sich umschreiben lassen in einen
von allen Subsumtionszeichen befreiten Ausdruck, der auch als ein solcher
des Klassenkalkuls deutungsfähig geworden.

Aus den zu sämtlichen Konstituenten auf diesem Wege gewonnenen
Prädikaten leitet hernach McColl durch überschiebendes Addiren sich seine
Eliminationsergebnisse ab, die sich so als Prädikationen ergeben für die
Konstituenten nach den als Unbekannte zu berechnenden Argumenten.
Z. B. aus den Prädikaten zu x y1 z1 und zu x y1 z fliesst so ein Prädikat zu
x y1, aus diesem und einem ähnlich gewonnenen Prädikate zu x y ergibt
sich ein Prädikat zu x (welches durch Kontraposition schliesslich in ein
Subjekt zu x1 verwandelt wird). Etc.

Dass dieses Zuwerkegehen nicht eben vorteilhaft ist, zeigt deutlichst
eine Vergleichung der von McColl gegebnen Lösungsarbeit -- z. B. bei
der 28. Aufgabe des § 25 -- mit der -- dort -- von mir geleisteten. --

Vierzehnte Vorlesung.
der Übersicht oder Erleichterung der Arbeit gegenüber den schon
auseinandergesetzten (und teilweise allerdings der McColl'schen sich
nähernden) Behandlungsweisen vermag ich aber nicht dabei wahrzu-
nehmen. —

Wo mehrere Argumente als Eliminanden oder Unbekannte gleich-
zeitig in Betracht kommen, verfährt übrigens McColl nicht etwa rein nach
dem oben geschilderten Schema für eines nach dem andern von diesen.
Vielmehr müssen wir, um vollständig sein Zuwerkegehen charakterisirt zu
haben und den bis incl. zu unserm § 32 vorgeschrittenen Leser in den
Stand zu setzen, die von McColl behandelten Probleme genau in seiner
Weise (nach-)rechnen zu können, etwas vorgreifend noch folgendes bemerken.

Sei F (x, y, z, ‥) ein Prämissensystem, z. B. ein aussagenrechnerisch
angesetztes „Produkt“ von Subsumtionen, so wird dasselbe laut Voraus-
setzung gelten, somit den Wert der 1 des Aussagenkalkuls haben. Irgend
ein Konstituent (einer Entwickelung) nach den Argumenten x, y, z, ‥,
z. B. x y1 z1 ‥, wird daher mit diesem Faktor F (x, y, z ‥), der ja 1 ist,
versehen werden dürfen, sodass
x y1 z1 ‥ = x y1 z1 … F (x, y, z ‥).
Nach dem im Schlusspassus der S. 589 gegebenen Satze (und mit Rück-
sicht auf dessen zulässige im Kontext der folgenden Seite schon angedeutete
Erweiterung) ist aber die rechte Seite dieser Gleichung = x y1 z1 … F (1, 0, 0, ‥)
und somit ⋹ F (1, 0, 0, ‥) kraft Th. 6×). Sonach ergibt sich in der Gestalt:
x y1 z1 ‥ ⋹ F (1, 0, 0, ‥)
ein Prädikat zu dem gedachten Konstituenten, welches sich zunächst
wiederum als ein Produkt von Subsumtionen darstellt, worin aber die
Argumente nicht mehr vorkommen. Dasselbe wird nun nach den in § 32
gegebnen Schemata, insbesondre dem λ), sich umschreiben lassen in einen
von allen Subsumtionszeichen befreiten Ausdruck, der auch als ein solcher
des Klassenkalkuls deutungsfähig geworden.

Aus den zu sämtlichen Konstituenten auf diesem Wege gewonnenen
Prädikaten leitet hernach McColl durch überschiebendes Addiren sich seine
Eliminationsergebnisse ab, die sich so als Prädikationen ergeben für die
Konstituenten nach den als Unbekannte zu berechnenden Argumenten.
Z. B. aus den Prädikaten zu x y1 z1 und zu x y1 z fliesst so ein Prädikat zu
x y1, aus diesem und einem ähnlich gewonnenen Prädikate zu x y ergibt
sich ein Prädikat zu x (welches durch Kontraposition schliesslich in ein
Subjekt zu x1 verwandelt wird). Etc.

Dass dieses Zuwerkegehen nicht eben vorteilhaft ist, zeigt deutlichst
eine Vergleichung der von McColl gegebnen Lösungsarbeit — z. B. bei
der 28. Aufgabe des § 25 — mit der — dort — von mir geleisteten. —

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[592/0612] Vierzehnte Vorlesung. der Übersicht oder Erleichterung der Arbeit gegenüber den schon auseinandergesetzten (und teilweise allerdings der McColl'schen sich nähernden) Behandlungsweisen vermag ich aber nicht dabei wahrzu- nehmen. — Wo mehrere Argumente als Eliminanden oder Unbekannte gleich- zeitig in Betracht kommen, verfährt übrigens McColl nicht etwa rein nach dem oben geschilderten Schema für eines nach dem andern von diesen. Vielmehr müssen wir, um vollständig sein Zuwerkegehen charakterisirt zu haben und den bis incl. zu unserm § 32 vorgeschrittenen Leser in den Stand zu setzen, die von McColl behandelten Probleme genau in seiner Weise (nach-)rechnen zu können, etwas vorgreifend noch folgendes bemerken. Sei F (x, y, z, ‥) ein Prämissensystem, z. B. ein aussagenrechnerisch angesetztes „Produkt“ von Subsumtionen, so wird dasselbe laut Voraus- setzung gelten, somit den Wert der 1 des Aussagenkalkuls haben. Irgend ein Konstituent (einer Entwickelung) nach den Argumenten x, y, z, ‥, z. B. x y1 z1 ‥, wird daher mit diesem Faktor F (x, y, z ‥), der ja 1 ist, versehen werden dürfen, sodass x y1 z1 ‥ = x y1 z1 … F (x, y, z ‥). Nach dem im Schlusspassus der S. 589 gegebenen Satze (und mit Rück- sicht auf dessen zulässige im Kontext der folgenden Seite schon angedeutete Erweiterung) ist aber die rechte Seite dieser Gleichung = x y1 z1 … F (1, 0, 0, ‥) und somit ⋹ F (1, 0, 0, ‥) kraft Th. 6×). Sonach ergibt sich in der Gestalt: x y1 z1 ‥ ⋹ F (1, 0, 0, ‥) ein Prädikat zu dem gedachten Konstituenten, welches sich zunächst wiederum als ein Produkt von Subsumtionen darstellt, worin aber die Argumente nicht mehr vorkommen. Dasselbe wird nun nach den in § 32 gegebnen Schemata, insbesondre dem λ), sich umschreiben lassen in einen von allen Subsumtionszeichen befreiten Ausdruck, der auch als ein solcher des Klassenkalkuls deutungsfähig geworden. Aus den zu sämtlichen Konstituenten auf diesem Wege gewonnenen Prädikaten leitet hernach McColl durch überschiebendes Addiren sich seine Eliminationsergebnisse ab, die sich so als Prädikationen ergeben für die Konstituenten nach den als Unbekannte zu berechnenden Argumenten. Z. B. aus den Prädikaten zu x y1 z1 und zu x y1 z fliesst so ein Prädikat zu x y1, aus diesem und einem ähnlich gewonnenen Prädikate zu x y ergibt sich ein Prädikat zu x (welches durch Kontraposition schliesslich in ein Subjekt zu x1 verwandelt wird). Etc. Dass dieses Zuwerkegehen nicht eben vorteilhaft ist, zeigt deutlichst eine Vergleichung der von McColl gegebnen Lösungsarbeit — z. B. bei der 28. Aufgabe des § 25 — mit der — dort — von mir geleisteten. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 592. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/612>, abgerufen am 25.11.2024.