Ausdehnung des Produkt-Begriffs auf beliebig viele Terme.
xr = sr tr braucht nach dem Gesagten nicht weiter angedeutet oder mittelst fernerer innerhalb derselben anzubringender Klammern angegeben, vor- geschrieben zu werden, da diese Teilprodukte jedenfalls weniger als n (höchstens n -- 1) Faktoren enthalten, während sogar s1 = a1 und tn -- 1 = an -- wie man sich auszudrücken pflegt -- "nur aus einem Faktor bestehen", eigentlich nämlich gar nicht Produkte sind.
Zu zeigen ist, dass die obigen n -- 1 Ausdrücke x1, x2 ... xn -- 1 einander gleich sein müssen, und dies wird nach Th. 4) Zusatz geleistet sein, wenn wir darthun, dass allgemein (nämlich für jedes der gedachten g bis zum letzten hin) xr = xr + 1 sein muss, womit ja x1 = x2, x2 = x3, ... xn -- 2 = xn -- 1 dann erkannt sein wird.
Nun ist zufolge der den Symbolen tr und tr + 1 beigelegten Bedeutung (kraft der bei solchen Teilprodukten beliebig anbringbaren Klammern): tr = ar + 1tr + 1 und kann nach Th. 16x) dies in xr = sr tr eingesetzt werden. Darnach wird sich dann xr aus drei Faktoren zusammensetzen und kraft Th. 13x) sich ergeben: xr = sr (ar + 1tr + 1) = (sr ar + 1) tr + 1. Es ist aber zufolge der den Symbolen sr und sr + 1 zukommenden Be- deutung auch (wegen der Unterdrückbarkeit von Klammern in denselben): sr ar + 1 = sr + 1 und kann dies wiederum nach 16x) in das letzte Ergebniss eingesetzt werden. Dadurch entsteht: xr = sr + 1tr + 1 = xr + 1 was zu beweisen war.
Nun war bei drei Faktoren die Klammerstellung ohne Einfluss auf den Wert des Ergebnisses; nach dem eben Bewiesenen muss sie es auch für 3 + 1 oder 4 Faktoren sein; ist sie es sonach für viere, so muss sie es auch sein für 4 + 1 oder 5 Faktoren und so weiter. Es kann in dieser Weise ohne Ende fort geschlossen werden, und jedenfalls auch so lange, bis man irgend eine vorgedachte Faktoren- zahl erreicht hat (Schluss von n -- 1 auf n resp. n auf n + 1, oder Bernoulli'scher "Schluss der vollständigen Induktion").
Gilt also nur das spezielle Assoziationsgesetz (für drei Faktoren), so gilt auch stets das allgemeine Assoziationsgesetz (für beliebig viele Faktoren). Letzteres lautet:
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Ausdehnung des Produkt-Begriffs auf beliebig viele Terme.
xr = sr tr braucht nach dem Gesagten nicht weiter angedeutet oder mittelst fernerer innerhalb derselben anzubringender Klammern angegeben, vor- geschrieben zu werden, da diese Teilprodukte jedenfalls weniger als n (höchstens n — 1) Faktoren enthalten, während sogar s1 = a1 und tn — 1 = an — wie man sich auszudrücken pflegt — „nur aus einem Faktor bestehen“, eigentlich nämlich gar nicht Produkte sind.
Zu zeigen ist, dass die obigen n — 1 Ausdrücke x1, x2 … xn — 1 einander gleich sein müssen, und dies wird nach Th. 4) Zusatz geleistet sein, wenn wir darthun, dass allgemein (nämlich für jedes der gedachten γ bis zum letzten hin) xr = xr + 1 sein muss, womit ja x1 = x2, x2 = x3, … xn — 2 = xn — 1 dann erkannt sein wird.
Nun ist zufolge der den Symbolen tr und tr + 1 beigelegten Bedeutung (kraft der bei solchen Teilprodukten beliebig anbringbaren Klammern): tr = ar + 1tr + 1 und kann nach Th. 16×) dies in xr = sr tr eingesetzt werden. Darnach wird sich dann xr aus drei Faktoren zusammensetzen und kraft Th. 13×) sich ergeben: xr = sr (ar + 1tr + 1) = (sr ar + 1) tr + 1. Es ist aber zufolge der den Symbolen sr und sr + 1 zukommenden Be- deutung auch (wegen der Unterdrückbarkeit von Klammern in denselben): sr ar + 1 = sr + 1 und kann dies wiederum nach 16×) in das letzte Ergebniss eingesetzt werden. Dadurch entsteht: xr = sr + 1tr + 1 = xr + 1 was zu beweisen war.
Nun war bei drei Faktoren die Klammerstellung ohne Einfluss auf den Wert des Ergebnisses; nach dem eben Bewiesenen muss sie es auch für 3 + 1 oder 4 Faktoren sein; ist sie es sonach für viere, so muss sie es auch sein für 4 + 1 oder 5 Faktoren und so weiter. Es kann in dieser Weise ohne Ende fort geschlossen werden, und jedenfalls auch so lange, bis man irgend eine vorgedachte Faktoren- zahl erreicht hat (Schluss von n — 1 auf n resp. n auf n + 1, oder Bernoulli'scher „Schluss der vollständigen Induktion“).
Gilt also nur das spezielle Assoziationsgesetz (für drei Faktoren), so gilt auch stets das allgemeine Assoziationsgesetz (für beliebig viele Faktoren). Letzteres lautet:
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Ausdehnung des Produkt-Begriffs auf beliebig viele Terme.
xr = sr tr
braucht nach dem Gesagten nicht weiter angedeutet oder mittelst
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geschrieben zu werden, da diese Teilprodukte jedenfalls weniger als
n (höchstens n — 1) Faktoren enthalten, während sogar s1 = a1 und
tn — 1 = an — wie man sich auszudrücken pflegt — „nur aus einem
Faktor bestehen“, eigentlich nämlich gar nicht Produkte sind.
Zu zeigen ist, dass die obigen n — 1 Ausdrücke x1, x2 … xn — 1
einander gleich sein müssen, und dies wird nach Th. 4) Zusatz geleistet
sein, wenn wir darthun, dass allgemein (nämlich für jedes der gedachten
γ bis zum letzten hin)
xr = xr + 1
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sein wird.
Nun ist zufolge der den Symbolen tr und tr + 1 beigelegten Bedeutung
(kraft der bei solchen Teilprodukten beliebig anbringbaren Klammern):
tr = ar + 1 tr + 1
und kann nach Th. 16×) dies in xr = sr tr eingesetzt werden. Darnach
wird sich dann xr aus drei Faktoren zusammensetzen und kraft Th. 13×)
sich ergeben:
xr = sr (ar + 1 tr + 1) = (sr ar + 1) tr + 1.
Es ist aber zufolge der den Symbolen sr und sr + 1 zukommenden Be-
deutung auch (wegen der Unterdrückbarkeit von Klammern in denselben):
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und kann dies wiederum nach 16×) in das letzte Ergebniss eingesetzt
werden. Dadurch entsteht:
xr = sr + 1 tr + 1 = xr + 1
was zu beweisen war.
Nun war bei drei Faktoren die Klammerstellung ohne Einfluss
auf den Wert des Ergebnisses; nach dem eben Bewiesenen muss sie
es auch für 3 + 1 oder 4 Faktoren sein; ist sie es sonach für viere,
so muss sie es auch sein für 4 + 1 oder 5 Faktoren und so weiter.
Es kann in dieser Weise ohne Ende fort geschlossen werden, und
jedenfalls auch so lange, bis man irgend eine vorgedachte Faktoren-
zahl erreicht hat (Schluss von n — 1 auf n resp. n auf n + 1, oder
Bernoulli'scher „Schluss der vollständigen Induktion“).
Gilt also nur das spezielle Assoziationsgesetz (für drei Faktoren),
so gilt auch stets das allgemeine Assoziationsgesetz (für beliebig viele
Faktoren). Letzteres lautet:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 611. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/631>, abgerufen am 27.11.2024.
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