Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Satz 13)b ("Allgemeines Assoziationsgesetz"). Auch bei irgend einer
Anzahl, bei einer beliebigen Reihe von multiplikativ zu verknüpfenden Sym-
bolen ist die Klammerstellung für den Wert des Ergebnisses gleichgültig.

(Definition.) Den für jede denkbare Art der Klammerstellung
übereinstimmend erhältlichen Wert des Ergebnisses der Verknüpfung
nennt man kurz das Produkt der sämtlichen, in ihrer gegebenen Reihen-
folge verwendeten, Symbole und pflegt man dasselbe dadurch auszu-
drücken, dass man diese Symbole als "Faktoren" in jener bestimmten
Reihenfolge gemeinhin ohne alle Klammern nebeneinander stellt.

Die hier angestellten Betrachtungen sind nicht nur für die identische,
wie für die numerische Multiplikation in gleicher Weise gültig, sondern
überhaupt für jede Art von eindeutiger Verknüpfung, die man sich unter
dem vorstehend gebrauchten Namen "Multiplikation" irgend vorstellen mag.
Nichts hindert, den Punkt, wo er als Malzeichen in Gedanken zu setzen
gewesen, wirklich hinzuschreiben und ihn dabei durch ein beliebiges
Knüpfungszeichen (wie Herr Stolz es thut) zu ersetzen. Die an unsre
Voraussetzungen angeknüpften Schlussfolgerungen müssen dabei unverändert
stichhaltig bleiben, weil sie eben (von der Materie unabhängig) nach all-
gemeinen Schemata mit Denknotwendigkeit erfolgten. Sofern also für die
gedachte Knüpfung nur die Voraussetzungen 13x) und 16x) zutreffen, muss
auch das allgemeine Assoziationsgesetz für diese Knüpfung gelten und kann
der Begriff der ursprünglich nur "binären" Knüpfung erweitert werden zu
demjenigen einer beliebig viele Terme auf einmal (in bestimmter Reihen-
folge) verbindenden Knüpfung der nämlichen Art.

Namentlich sind unsre Ergebnisse auch auf die identische gleichwie
auf die numerische Addition ohne weiteres übertragbar und gilt dies nicht
minder von dem hiernächst noch weiter Folgenden. Als Knüpfungszeichen
wird hier eben nur das Pluszeichen zu figuriren haben.

Die so ausgedehnten, dergestalt erweitert anzulegenden Betrachtungen
gehören sich eigentlich eingefügt in den Rahmen einer allgemeinen Theorie
der Verknüpfung, welche -- passend wol "absolute Algebra" zu nennen --
dieselben für die verschiedenen Unterdisziplinen ein für allemal erledigte.
Doch sei bemerkt, dass, abgesehen von vereinzelten Bruchstücken, solche
Theorie noch nicht geschrieben ist!

Nebenbei gesagt gibt es auch Operationen, die nur assoziativ, nicht
kommutativ sind -- wie z. B. die Multiplikation der Substitutionen und
die der Quaternionen und unzählige andere -- sowie auch umgekehrt
Operationen sich angeben lassen, welche kommutativ aber nicht assoziativ sind.

Hier indess haben wir nur noch mit der Verbindung beider Eigen-
schaften der Assoziativität und Kommutativität uns zu beschäftigen.

Auf Grund der bisherigen aus 13x) abgeleiteten Theoreme (und
Definition) lässt sich nun der Satz beweisen:

Satz 13)c. In einem Produkt von n Faktoren dürfen irgend zwei
benachbarte miteinander vertauscht werden.

Satz 13)b („Allgemeines Assoziationsgesetz“). Auch bei irgend einer
Anzahl, bei einer beliebigen Reihe von multiplikativ zu verknüpfenden Sym-
bolen ist die Klammerstellung für den Wert des Ergebnisses gleichgültig.

(Definition.) Den für jede denkbare Art der Klammerstellung
übereinstimmend erhältlichen Wert des Ergebnisses der Verknüpfung
nennt man kurz das Produkt der sämtlichen, in ihrer gegebenen Reihen-
folge verwendeten, Symbole und pflegt man dasselbe dadurch auszu-
drücken, dass man diese Symbole als „Faktoren“ in jener bestimmten
Reihenfolge gemeinhin ohne alle Klammern nebeneinander stellt.

Die hier angestellten Betrachtungen sind nicht nur für die identische,
wie für die numerische Multiplikation in gleicher Weise gültig, sondern
überhaupt für jede Art von eindeutiger Verknüpfung, die man sich unter
dem vorstehend gebrauchten Namen „Multiplikation“ irgend vorstellen mag.
Nichts hindert, den Punkt, wo er als Malzeichen in Gedanken zu setzen
gewesen, wirklich hinzuschreiben und ihn dabei durch ein beliebiges
Knüpfungszeichen ∘ (wie Herr Stolz es thut) zu ersetzen. Die an unsre
Voraussetzungen angeknüpften Schlussfolgerungen müssen dabei unverändert
stichhaltig bleiben, weil sie eben (von der Materie unabhängig) nach all-
gemeinen Schemata mit Denknotwendigkeit erfolgten. Sofern also für die
gedachte Knüpfung nur die Voraussetzungen 13×) und 16×) zutreffen, muss
auch das allgemeine Assoziationsgesetz für diese Knüpfung gelten und kann
der Begriff der ursprünglich nur „binären“ Knüpfung erweitert werden zu
demjenigen einer beliebig viele Terme auf einmal (in bestimmter Reihen-
folge) verbindenden Knüpfung der nämlichen Art.

Namentlich sind unsre Ergebnisse auch auf die identische gleichwie
auf die numerische Addition ohne weiteres übertragbar und gilt dies nicht
minder von dem hiernächst noch weiter Folgenden. Als Knüpfungszeichen
wird hier eben nur das Pluszeichen zu figuriren haben.

Die so ausgedehnten, dergestalt erweitert anzulegenden Betrachtungen
gehören sich eigentlich eingefügt in den Rahmen einer allgemeinen Theorie
der Verknüpfung, welche — passend wol „absolute Algebra“ zu nennen —
dieselben für die verschiedenen Unterdisziplinen ein für allemal erledigte.
Doch sei bemerkt, dass, abgesehen von vereinzelten Bruchstücken, solche
Theorie noch nicht geschrieben ist!

Nebenbei gesagt gibt es auch Operationen, die nur assoziativ, nicht
kommutativ sind — wie z. B. die Multiplikation der Substitutionen und
die der Quaternionen und unzählige andere — sowie auch umgekehrt
Operationen sich angeben lassen, welche kommutativ aber nicht assoziativ sind.

Hier indess haben wir nur noch mit der Verbindung beider Eigen-
schaften der Assoziativität und Kommutativität uns zu beschäftigen.

Auf Grund der bisherigen aus 13×) abgeleiteten Theoreme (und
Definition) lässt sich nun der Satz beweisen:

Satz 13)c. In einem Produkt von n Faktoren dürfen irgend zwei
benachbarte miteinander vertauscht werden.