staben von vornherein beliebig angenommen werden konnten (wodurch sich erst der dritte bestimmte).
Es wird deshalb gestattet sein, in obigen Beziehungsgleichungen die Buchstaben auch durch irgend welche andere zu ersetzen, und kann man sich für einen solchen Buchstabenwechsel entscheiden, dass in jeder von den Gleichungen nur mehr a und b -- und zwar der letztere b auf einer Seite isolirt -- vorkommen. Darnach werden sich die sechs "Fundamental- beziehungen" zu dem übersichtlichen Schema zusammenziehen lassen:
[Tabelle]
in welchem die im regelmässigen Sechseck angeordneten Ausdrücke dem im Mittelpunkt stehenden b gleichgesetzt zu denken sind, natürlich aber auch unter sich einander gleich gesetzt werden dürfen.
Endlich seien aber die zu betrachtenden Funktionalgleichungen auch von einer bestimmten Form. Sie seien diejenigen der "Sorte" a, b, c = a, b, c von (l. c.)8, § 4, d. h. solche Gleichungen, in welchen beiderseits die Ergebnisse der Verknüpfung der nämlichen drei Buchstabenzahlen a, b und c durch irgend welche zwei successive von den drei symbolischen Grundoperationen stehen -- wo diesen Buchstaben nun von einander unabhängig beliebige Werte zukommen sollen.*)
Unsre "Mannigfaltigkeit" umfasst darnach 990 (nicht durch Buch- stabenvertauschung auf einander zurückführbare und nicht identische) Gleichungen, die man leicht vollständig hinschreiben kann, und deren Gesamtheit ich also U hier zu nennen haben werde. [In Anhang 5 werden nur wenige Gruppen von diesen Gleichungen wirklich in's Auge zu fassen sein.]
Derselben gehören die "Prinzipien" P hier überhaupt nicht an.
Die in diesen Funktionalgleichungen auftretenden Argumente oder Operationsglieder a, b, c mussten dabei stets als allgemeine Zahlen eines bestimmten, sei es diskreten, sei es kontinuirlichen, begrenzten oder auch unendlichen Zahlengebietes aufgefasst werden. [Wirklich in Betracht kommen werden für uns aber nur Zahlengebiete, die aus einigen wenigen Ziffern bestehen.]
Indem (l. c.)8, § 9 eine Funktion von mir konstruirt ist, welche
*) D. h. unter c soll jetzt nicht mehr der durch a und b bestimmt gewesene Wert des vorigen Kontextes, sondern ein ganz beliebiger Wert verstanden werden.
Funktionalgleichungen.
staben von vornherein beliebig angenommen werden konnten (wodurch sich erst der dritte bestimmte).
Es wird deshalb gestattet sein, in obigen Beziehungsgleichungen die Buchstaben auch durch irgend welche andere zu ersetzen, und kann man sich für einen solchen Buchstabenwechsel entscheiden, dass in jeder von den Gleichungen nur mehr a und b — und zwar der letztere b auf einer Seite isolirt — vorkommen. Darnach werden sich die sechs „Fundamental- beziehungen“ zu dem übersichtlichen Schema zusammenziehen lassen:
[Tabelle]
in welchem die im regelmässigen Sechseck angeordneten Ausdrücke dem im Mittelpunkt stehenden b gleichgesetzt zu denken sind, natürlich aber auch unter sich einander gleich gesetzt werden dürfen.
Endlich seien aber die zu betrachtenden Funktionalgleichungen auch von einer bestimmten Form. Sie seien diejenigen der „Sorte“ a, b, c = a, b, c von (l. c.)8, § 4, d. h. solche Gleichungen, in welchen beiderseits die Ergebnisse der Verknüpfung der nämlichen drei Buchstabenzahlen a, b und c durch irgend welche zwei successive von den drei symbolischen Grundoperationen stehen — wo diesen Buchstaben nun von einander unabhängig beliebige Werte zukommen sollen.*)
Unsre „Mannigfaltigkeit“ umfasst darnach 990 (nicht durch Buch- stabenvertauschung auf einander zurückführbare und nicht identische) Gleichungen, die man leicht vollständig hinschreiben kann, und deren Gesamtheit ich also U hier zu nennen haben werde. [In Anhang 5 werden nur wenige Gruppen von diesen Gleichungen wirklich in's Auge zu fassen sein.]
Derselben gehören die „Prinzipien“ P hier überhaupt nicht an.
Die in diesen Funktionalgleichungen auftretenden Argumente oder Operationsglieder a, b, c mussten dabei stets als allgemeine Zahlen eines bestimmten, sei es diskreten, sei es kontinuirlichen, begrenzten oder auch unendlichen Zahlengebietes aufgefasst werden. [Wirklich in Betracht kommen werden für uns aber nur Zahlengebiete, die aus einigen wenigen Ziffern bestehen.]
Indem (l. c.)8, § 9 eine Funktion von mir konstruirt ist, welche
*) D. h. unter c soll jetzt nicht mehr der durch a und b bestimmt gewesene Wert des vorigen Kontextes, sondern ein ganz beliebiger Wert verstanden werden.
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Funktionalgleichungen.
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sich für einen solchen Buchstabenwechsel entscheiden, dass in jeder von
den Gleichungen nur mehr a und b — und zwar der letztere b auf einer
Seite isolirt — vorkommen. Darnach werden sich die sechs „Fundamental-
beziehungen“ zu dem übersichtlichen Schema zusammenziehen lassen:
in welchem die im regelmässigen Sechseck angeordneten Ausdrücke dem
im Mittelpunkt stehenden b gleichgesetzt zu denken sind, natürlich aber
auch unter sich einander gleich gesetzt werden dürfen.
Endlich seien aber die zu betrachtenden Funktionalgleichungen
auch von einer bestimmten Form. Sie seien diejenigen der „Sorte“
a, b, c = a, b, c
von (l. c.)8, § 4, d. h. solche Gleichungen, in welchen beiderseits die
Ergebnisse der Verknüpfung der nämlichen drei Buchstabenzahlen a,
b und c durch irgend welche zwei successive von den drei symbolischen
Grundoperationen stehen — wo diesen Buchstaben nun von einander
unabhängig beliebige Werte zukommen sollen. *)
Unsre „Mannigfaltigkeit“ umfasst darnach 990 (nicht durch Buch-
stabenvertauschung auf einander zurückführbare und nicht identische)
Gleichungen, die man leicht vollständig hinschreiben kann, und deren
Gesamtheit ich also U hier zu nennen haben werde. [In Anhang 5
werden nur wenige Gruppen von diesen Gleichungen wirklich in's
Auge zu fassen sein.]
Derselben gehören die „Prinzipien“ P hier überhaupt nicht an.
Die in diesen Funktionalgleichungen auftretenden Argumente oder
Operationsglieder a, b, c mussten dabei stets als allgemeine Zahlen eines
bestimmten, sei es diskreten, sei es kontinuirlichen, begrenzten oder
auch unendlichen Zahlengebietes aufgefasst werden. [Wirklich in
Betracht kommen werden für uns aber nur Zahlengebiete, die aus
einigen wenigen Ziffern bestehen.]
Indem (l. c.)8, § 9 eine Funktion von mir konstruirt ist, welche
*) D. h. unter c soll jetzt nicht mehr der durch a und b bestimmt gewesene
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 621. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/641>, abgerufen am 28.11.2024.
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