für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen gleichzeitig erfüllt -- aber schon dadurch auch, dass eingangs des Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut -- ist die Existenz von Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich- keit der letztern miteinander dargethan.
Die 990 "Formeln" unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen Gestalt von "Funktionalgleichungen" erscheinen, wenn man für jedes sym- bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und
[Formel 1]
aber etwa ph (a, b) und ps (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise müsste so die Formel:
[Formel 2]
= b
[Formel 3]
eigentlich lauten: ps {ph (b, c), a} = f {b, ps (a, c)}.
Subsumtion.
Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an das hervorgehobene spezielle Substrat U.
Unter A, B, C verstehen wir lauter "Algorithmen", d. h. irgend- welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der "Mannigfaltigkeit", d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U.
Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen und Formelsystemen, indem ich unter einer "Formelgruppe" verstehe ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der "Prinzipien" nach sich zieht -- also ein System, welches ergänzt worden ist durch den Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U angehören.
Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo- rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge- bildeten "Formelsysteme" bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den wir in dieser Anwendung den "identischen Kalkul mit Formelsystemen" zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden "logischen Kalkul mit Algorithmen".
Wenn A aus B (kraft der "Prinzipien") folgt, aber nicht umge- kehrt, so werden wir hier schreiben: a) AB.
Anhang 4.
für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen gleichzeitig erfüllt — aber schon dadurch auch, dass eingangs des Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut — ist die Existenz von Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich- keit der letztern miteinander dargethan.
Die 990 „Formeln“ unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen Gestalt von „Funktionalgleichungen“ erscheinen, wenn man für jedes sym- bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und
[Formel 1]
aber etwa φ (a, b) und ψ (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise müsste so die Formel:
[Formel 2]
= b
[Formel 3]
eigentlich lauten: ψ {φ (b, c), a} = f {b, ψ (a, c)}.
Subsumtion.
Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an das hervorgehobene spezielle Substrat U.
Unter A, B, C verstehen wir lauter „Algorithmen“, d. h. irgend- welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der „Mannigfaltigkeit“, d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U.
Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen und Formelsystemen, indem ich unter einer „Formelgruppe“ verstehe ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der „Prinzipien“ nach sich zieht — also ein System, welches ergänzt worden ist durch den Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U angehören.
Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo- rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge- bildeten „Formelsysteme“ bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den wir in dieser Anwendung den „identischen Kalkul mit Formelsystemen“ zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden „logischen Kalkul mit Algorithmen“.
Wenn A aus B (kraft der „Prinzipien“) folgt, aber nicht umge- kehrt, so werden wir hier schreiben: α) A ⊂ B.
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Anhang 4.
für das ganze Gebiet der komplexen Zahlen die 990 besagten Gleichungen
gleichzeitig erfüllt — aber schon dadurch auch, dass eingangs des
Anhang 5 eine Funktion angegeben ist, welche dies wenigstens für ein
Zahlengebiet aus zwei oder vier Ziffern thut — ist die Existenz von
Lösungen für alle diese Funktionalgleichungen sowie die Verträglich-
keit der letztern miteinander dargethan.
Die 990 „Formeln“ unsrer Mannigfaltigkeit U würden in der üblichen
Gestalt von „Funktionalgleichungen“ erscheinen, wenn man für jedes sym-
bolische Produkt a b wieder f (a, b), für die symbol. Quotienten a : b und
[FORMEL] aber etwa φ (a, b) und ψ (a, b) bezüglich schriebe. Beispielsweise
müsste so die Formel:
[FORMEL] = b [FORMEL] eigentlich lauten: ψ {φ (b, c), a} = f {b, ψ (a, c)}.
Subsumtion.
Um hinfort nicht allzu abstrakt zu reden, halte ich mich schon bei
der Darstellung der allgemeinsten Begriffserklärungen und Theoreme an
das hervorgehobene spezielle Substrat U.
Unter A, B, C verstehen wir lauter „Algorithmen“, d. h. irgend-
welche Gruppen von Funktionalgleichungen, herausgegriffen aus der
„Mannigfaltigkeit“, d. i. dem Gebiete der 990 Formeln U.
Ich unterscheide dabei, wie anderwärts, zwischen Formelgruppen
und Formelsystemen, indem ich unter einer „Formelgruppe“ verstehe
ein solches System von Formeln des Gebietes, welches keine ihm nicht
bereits angehörige Formel des Gebietes kraft der „Prinzipien“ nach
sich zieht — also ein System, welches ergänzt worden ist durch den
Zuzug aller seiner Konsequenzen, so weit diese wieder dem Gebiete U
angehören.
Von andern Formelsystemen, als den in dieser Weise zu Algo-
rithmen kompletirten Gruppen sei hier überhaupt nicht die Rede. Nur
sei in Bezug auf die ohne Rücksicht auf logischen Zusammenhang ge-
bildeten „Formelsysteme“ bemerkt, dass sich auf sie ohne weiteres
jener Kalkul anwenden lässt, der für Gebiete einer Mannigfaltigkeit
überhaupt in der Algebra der Logik aufgestellt worden ist, und den
wir in dieser Anwendung den „identischen Kalkul mit Formelsystemen“
zu nennen haben werden im Gegensatz zu dem sogleich zu begründenden
„logischen Kalkul mit Algorithmen“.
Wenn A aus B (kraft der „Prinzipien“) folgt, aber nicht umge-
kehrt, so werden wir hier schreiben:
α) A ⊂ B.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 622. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/642>, abgerufen am 28.11.2024.
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