Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Man sieht leicht, dass dieses Zahlengebiet der einfachsten "Gruppe",
die es gibt, von nicht durchweg vertauschbaren "Substitutionen" entspricht,
indem man das Element 1 mit der "identischen Substitution", die Ele-
mente 2, 3, 4 mit den "Transpositionen" (a b), (a g) und (b g) identifiziren
kann, wo dann die Elemente 5 und 6 den "cyklischen" Substitutionen
(a b g) und (a g b) entsprechen werden, und unsre symbolische Multiplikation
zusammenfällt mit der eigentlichen Multiplikation der Substitutionen.

Wie die Multiplikation der Substitutionen überhaupt, so ist also auch
die vorliegende jedenfalls assoziativ. Und auch der Nachweis, dass keine
andern von den 990 Gleichungen U als die sub A1 angeführten 16 von
der durch die Tafel definirten Funktion durchaus erfüllt werden, unter-
liegt theoretisch nicht der geringsten Schwierigkeit. Dagegen würde, den-
selben ohne weitere Vorbereitung direkt zu liefern, allerdings einen Auf-
wand an Mühe erheischen, welcher der Kenntnissnahme der gesamten das
Gebiet U erledigenden Theorie der Verknüpfung, nachdem dieselbe im Zu-
sammenhange von mir dargelegt worden wäre, schon allein fast gleich-
kommen dürfte.

Nebenbei sei noch bemerkt: Lässt man die vertikalen Seiten der
beiden Dreiecke, sowie die Diagonalen des Quadrats in A1 fort, so
bleiben diejenigen 12 von den 16 Gleichungen A1, deren jede für sich
als eine "ausreichende Prämisse" von A1 zu bezeichnen ist und also
innerhalb U die Tragweite 16 hat. Dagegen bilden die fortgelassenen
4 Gleichungen einen dem A1 untergeordneten Algorithmus K1, dessen
Prämissen eben jene beiden Vertikalseiten (mit der Tragweite 4) sind.
Von den Diagonalgleichungen des Quadrats bildet jede für sich einen
eigenen Algorithmus: J2 resp. J3, indem sie keine weiteren Konse-
quenzen innerhalb U nach sich zieht.

Diese Eigenschaft, innerhalb U die Tragweite 1 zu haben, kommt
unter allen 990 Gleichungen U ausser den beiden genannten nur noch
der Gleichung zu:
[Formel 1] ,
die somit ebenfalls einen eigenen Algorithmus: J1 vorstellt. (Vergl.
unten "Beleg 1".)

30) Der Algorithmus C1. Eine Prämisse desselben kann zunächst
angegeben werden in Gestalt einer jeden von den beiden Gleichungen:
[Formel 2] .

Diese gehören zwar dem Gebiete U nicht an; auf letzterem aber
ziehen sie folgende 30 Gleichungen als Konsequenzen nach sich, die
wir den Algorithmus C1 (der kommutativen Operationen) innerhalb U
nennen.

Man sieht leicht, dass dieses Zahlengebiet der einfachsten „Gruppe“,
die es gibt, von nicht durchweg vertauschbaren „Substitutionen“ entspricht,
indem man das Element 1 mit der „identischen Substitution“, die Ele-
mente 2, 3, 4 mit den „Transpositionen“ (α β), (α γ) und (β γ) identifiziren
kann, wo dann die Elemente 5 und 6 den „cyklischen“ Substitutionen
(α β γ) und (α γ β) entsprechen werden, und unsre symbolische Multiplikation
zusammenfällt mit der eigentlichen Multiplikation der Substitutionen.

Wie die Multiplikation der Substitutionen überhaupt, so ist also auch
die vorliegende jedenfalls assoziativ. Und auch der Nachweis, dass keine
andern von den 990 Gleichungen U als die sub A1 angeführten 16 von
der durch die Tafel definirten Funktion durchaus erfüllt werden, unter-
liegt theoretisch nicht der geringsten Schwierigkeit. Dagegen würde, den-
selben ohne weitere Vorbereitung direkt zu liefern, allerdings einen Auf-
wand an Mühe erheischen, welcher der Kenntnissnahme der gesamten das
Gebiet U erledigenden Theorie der Verknüpfung, nachdem dieselbe im Zu-
sammenhange von mir dargelegt worden wäre, schon allein fast gleich-
kommen dürfte.

Nebenbei sei noch bemerkt: Lässt man die vertikalen Seiten der
beiden Dreiecke, sowie die Diagonalen des Quadrats in A1 fort, so
bleiben diejenigen 12 von den 16 Gleichungen A1, deren jede für sich
als eine „ausreichende Prämisse“ von A1 zu bezeichnen ist und also
innerhalb U die Tragweite 16 hat. Dagegen bilden die fortgelassenen
4 Gleichungen einen dem A1 untergeordneten Algorithmus K1, dessen
Prämissen eben jene beiden Vertikalseiten (mit der Tragweite 4) sind.
Von den Diagonalgleichungen des Quadrats bildet jede für sich einen
eigenen Algorithmus: J2 resp. J3, indem sie keine weiteren Konse-
quenzen innerhalb U nach sich zieht.

Diese Eigenschaft, innerhalb U die Tragweite 1 zu haben, kommt
unter allen 990 Gleichungen U ausser den beiden genannten nur noch
der Gleichung zu:
[Formel 1] ,
die somit ebenfalls einen eigenen Algorithmus: J1 vorstellt. (Vergl.
unten „Beleg 1“.)

30) Der Algorithmus C1. Eine Prämisse desselben kann zunächst
angegeben werden in Gestalt einer jeden von den beiden Gleichungen:
[Formel 2] .

Diese gehören zwar dem Gebiete U nicht an; auf letzterem aber
ziehen sie folgende 30 Gleichungen als Konsequenzen nach sich, die
wir den Algorithmus C1 (der kommutativen Operationen) innerhalb U
nennen.