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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Die komplementären Typen könnten auch einander "dual entspre-
chende" genannt werden. Zu einem Ausdruck als Repräsentanten eines
Typus erhält man nämlich den dual entsprechenden, wenn man --
während die in ihn eingehenden einfachen Symbole (seien sie positive
oder negative) ungeändert gelassen werden -- "plus" mit "mal" in
ihm vertauscht. Die Negation erhält man -- nach den Theoremen 36)
-- ebenso, indem man nur obendrein noch jene einfachen Symbole in
ihre Negationen verwandelt. Die Negation des Ausdrucks geht also
aus dem dualen Gegenstück desselben hervor, indem man die Buch-
staben des letzteren mit ihren Negationen vertauscht -- sowie um-
gekehrt, d. h. Negation und duales Gegenstück des Ausdrucks gehören
zum selben Typus, den wir den komplementären von demjenigen des
Ausdrucks nannten.

Wie zahlreiche Beispiele darthun, kann aber ein Ausdruck auch
sich selbst, oder wenigstens einem solchen vom nämlichen Typus dual
entsprechen, sodass es auch Typen gibt, die zu sich selber dual und
komplementär sind.

Ein sich selber komplementärer Typus ist zugleich ein Haupt-
typus, konstituirt für sich einen solchen. Ein solcher kann nach dem
Vorstehenden aber nur vorkommen innerhalb derjenigen Abteilung,
welche die Mitte innehält in der Reihe der Typen, somit je gerade
die Hälfte aller Konstituenten zu einem Elemente zusammenfasst.

Dies alles exemplifizirt sich bereits bei der Gruppe G (a), wo die
Verhältnisse freilich höchst einfach liegen:

Der mittlere (zweite) Typus, repräsentirt durch a, a1, ist zu sich
selbst komplementär, und zugleich der zweite Haupttypus. Der dritte
Typus, repräsentirt durch 1, ist komplementär zum ersten, durch 0
repräsentirten, und macht mit ihm den ersten Haupttypus aus. Wir
haben also bei G (a) drei Typen und zwei Haupttypen.

Der Analogie mit dem Folgenden wegen heben wir noch hervor,
dass sich die Frage nach der Anzahl der Typen in der Gruppe G (a)
geometrisch deckt mit der Frage nach der Anzahl der Arten, auf
welche sich an der zweipunktig begrenzten Strecke, dem (geradlinigen)
"Zweieck" Ecken auswählen lassen.

Man kann entweder keine Ecke, oder irgend eine, oder alle zwei
Ecken auswählen.

Analog wird bei der Frage nach der Zahl
der Typen, in welche die Elemente der
Gruppe G (a, b) sich einordnen, es darauf
ankommen, zu ermitteln, auf wie viele Arten

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 35.

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Die komplementären Typen könnten auch einander „dual entspre-
chende“ genannt werden. Zu einem Ausdruck als Repräsentanten eines
Typus erhält man nämlich den dual entsprechenden, wenn man —
während die in ihn eingehenden einfachen Symbole (seien sie positive
oder negative) ungeändert gelassen werden — „plus“ mit „mal“ in
ihm vertauscht. Die Negation erhält man — nach den Theoremen 36)
— ebenso, indem man nur obendrein noch jene einfachen Symbole in
ihre Negationen verwandelt. Die Negation des Ausdrucks geht also
aus dem dualen Gegenstück desselben hervor, indem man die Buch-
staben des letzteren mit ihren Negationen vertauscht — sowie um-
gekehrt, d. h. Negation und duales Gegenstück des Ausdrucks gehören
zum selben Typus, den wir den komplementären von demjenigen des
Ausdrucks nannten.

Wie zahlreiche Beispiele darthun, kann aber ein Ausdruck auch
sich selbst, oder wenigstens einem solchen vom nämlichen Typus dual
entsprechen, sodass es auch Typen gibt, die zu sich selber dual und
komplementär sind.

Ein sich selber komplementärer Typus ist zugleich ein Haupt-
typus, konstituirt für sich einen solchen. Ein solcher kann nach dem
Vorstehenden aber nur vorkommen innerhalb derjenigen Abteilung,
welche die Mitte innehält in der Reihe der Typen, somit je gerade
die Hälfte aller Konstituenten zu einem Elemente zusammenfasst.

Dies alles exemplifizirt sich bereits bei der Gruppe G (a), wo die
Verhältnisse freilich höchst einfach liegen:

Der mittlere (zweite) Typus, repräsentirt durch a, a1, ist zu sich
selbst komplementär, und zugleich der zweite Haupttypus. Der dritte
Typus, repräsentirt durch 1, ist komplementär zum ersten, durch 0
repräsentirten, und macht mit ihm den ersten Haupttypus aus. Wir
haben also bei G (a) drei Typen und zwei Haupttypen.

Der Analogie mit dem Folgenden wegen heben wir noch hervor,
dass sich die Frage nach der Anzahl der Typen in der Gruppe G (a)
geometrisch deckt mit der Frage nach der Anzahl der Arten, auf
welche sich an der zweipunktig begrenzten Strecke, dem (geradlinigen)
„Zweieck“ Ecken auswählen lassen.

Man kann entweder keine Ecke, oder irgend eine, oder alle zwei
Ecken auswählen.

Analog wird bei der Frage nach der Zahl
der Typen, in welche die Elemente der
Gruppe G (a, b) sich einordnen, es darauf
ankommen, zu ermitteln, auf wie viele Arten

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 35.

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[661/0681] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Die komplementären Typen könnten auch einander „dual entspre- chende“ genannt werden. Zu einem Ausdruck als Repräsentanten eines Typus erhält man nämlich den dual entsprechenden, wenn man — während die in ihn eingehenden einfachen Symbole (seien sie positive oder negative) ungeändert gelassen werden — „plus“ mit „mal“ in ihm vertauscht. Die Negation erhält man — nach den Theoremen 36) — ebenso, indem man nur obendrein noch jene einfachen Symbole in ihre Negationen verwandelt. Die Negation des Ausdrucks geht also aus dem dualen Gegenstück desselben hervor, indem man die Buch- staben des letzteren mit ihren Negationen vertauscht — sowie um- gekehrt, d. h. Negation und duales Gegenstück des Ausdrucks gehören zum selben Typus, den wir den komplementären von demjenigen des Ausdrucks nannten. Wie zahlreiche Beispiele darthun, kann aber ein Ausdruck auch sich selbst, oder wenigstens einem solchen vom nämlichen Typus dual entsprechen, sodass es auch Typen gibt, die zu sich selber dual und komplementär sind. Ein sich selber komplementärer Typus ist zugleich ein Haupt- typus, konstituirt für sich einen solchen. Ein solcher kann nach dem Vorstehenden aber nur vorkommen innerhalb derjenigen Abteilung, welche die Mitte innehält in der Reihe der Typen, somit je gerade die Hälfte aller Konstituenten zu einem Elemente zusammenfasst. Dies alles exemplifizirt sich bereits bei der Gruppe G (a), wo die Verhältnisse freilich höchst einfach liegen: Der mittlere (zweite) Typus, repräsentirt durch a, a1, ist zu sich selbst komplementär, und zugleich der zweite Haupttypus. Der dritte Typus, repräsentirt durch 1, ist komplementär zum ersten, durch 0 repräsentirten, und macht mit ihm den ersten Haupttypus aus. Wir haben also bei G (a) drei Typen und zwei Haupttypen. Der Analogie mit dem Folgenden wegen heben wir noch hervor, dass sich die Frage nach der Anzahl der Typen in der Gruppe G (a) geometrisch deckt mit der Frage nach der Anzahl der Arten, auf welche sich an der zweipunktig begrenzten Strecke, dem (geradlinigen) „Zweieck“ Ecken auswählen lassen. Man kann entweder keine Ecke, oder irgend eine, oder alle zwei Ecken auswählen. Analog wird bei der Frage nach der Zahl der Typen, in welche die Elemente der Gruppe G (a, b) sich einordnen, es darauf ankommen, zu ermitteln, auf wie viele Arten [Abbildung] [Abbildung Fig. 35.]

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 661. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/681>, abgerufen am 24.11.2024.