Ganz ebenso verhält sich nun die Würfelecke 1 zu den drei ihr benachbarten 2, 3 und 5, nebst den ihr abliegenden Ecken 4, 6 und 7 und ihrer Gegenecke 8 -- wofern die Abstände entlang dem Kanten- system des Würfels gemessen werden.
Und wie die Würfelecken als gleichwertig zu gelten haben, indem man jede Ecke in die Lage jeder andern bringen kann, ohne dass der Würfel aufhört mit sich selbst zusammenzufallen, so kann man auch durch blosse Vertauschungen von Argumenten a, b oder c mit ihren Negationen (sowie auch von jenen unter sich) die ganze Konstituenten- summe so in sich selber transformiren, dass irgend zwei verlangte Glieder derselben den Platz gewechselt haben werden -- sodass, was oben über den Ursprung a b c in seinem Verhältniss zu den übrigen Gliedern gesagt ist, auch von jedem andern Gliede als Ursprung wird gelten müssen.
Um alle analytisch ausführbaren Transformationen der Konstituenten- summe in sich selbst unter geometrischem Bilde erblicken zu können, wird man auch den "umgestülpten" Würfel, das ist denjenigen Würfel, bei welchem die Ziffern aller Gegenecken ausgetauscht worden, für gleichwertig gelten zu lassen haben mit dem ursprünglichen Würfel, obwol er mit diesem nie zur Deckung mit allen gleichnamigen Ecken gebracht werden kann, demselben vielmehr nur "symmetrisch gleich" sein wird.
Jene, die Konstituentensumme in sich selbst transformirenden Ver- tauschungen sind leicht zu ermitteln. Es sind vor allem die folgenden Produkte von "Transpositionen", bei denen wir solche Buchstabenvertau- schungen, die von selbst aus andern folgen, jeweils unter diese schreiben: (a, a1) (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8); (b, b1) (1, 3) (2, 4) (5, 7) (6, 8); (c, c1) (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8);
(a, b) (3, 5) (4, 6);
(a, c) (2, 5) (4, 7);
(b, c) (2, 3) (6, 7)
(a1, b1)
(a1, c1)
(b1, c1)
Aus diesen schon würden sich die folgenden Vertauschungen nach den Multiplikationsregeln der "Substitutionen" theorie ableiten lassen, gleichwie sie direkt sich ergeben:
Ganz ebenso verhält sich nun die Würfelecke 1 zu den drei ihr benachbarten 2, 3 und 5, nebst den ihr abliegenden Ecken 4, 6 und 7 und ihrer Gegenecke 8 — wofern die Abstände entlang dem Kanten- system des Würfels gemessen werden.
Und wie die Würfelecken als gleichwertig zu gelten haben, indem man jede Ecke in die Lage jeder andern bringen kann, ohne dass der Würfel aufhört mit sich selbst zusammenzufallen, so kann man auch durch blosse Vertauschungen von Argumenten a, b oder c mit ihren Negationen (sowie auch von jenen unter sich) die ganze Konstituenten- summe so in sich selber transformiren, dass irgend zwei verlangte Glieder derselben den Platz gewechselt haben werden — sodass, was oben über den Ursprung a b c in seinem Verhältniss zu den übrigen Gliedern gesagt ist, auch von jedem andern Gliede als Ursprung wird gelten müssen.
Um alle analytisch ausführbaren Transformationen der Konstituenten- summe in sich selbst unter geometrischem Bilde erblicken zu können, wird man auch den „umgestülpten“ Würfel, das ist denjenigen Würfel, bei welchem die Ziffern aller Gegenecken ausgetauscht worden, für gleichwertig gelten zu lassen haben mit dem ursprünglichen Würfel, obwol er mit diesem nie zur Deckung mit allen gleichnamigen Ecken gebracht werden kann, demselben vielmehr nur „symmetrisch gleich“ sein wird.
Jene, die Konstituentensumme in sich selbst transformirenden Ver- tauschungen sind leicht zu ermitteln. Es sind vor allem die folgenden Produkte von „Transpositionen“, bei denen wir solche Buchstabenvertau- schungen, die von selbst aus andern folgen, jeweils unter diese schreiben: (a, a1) (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8); (b, b1) (1, 3) (2, 4) (5, 7) (6, 8); (c, c1) (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8);
(a, b) (3, 5) (4, 6);
(a, c) (2, 5) (4, 7);
(b, c) (2, 3) (6, 7)
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(a1, c1)
(b1, c1)
Aus diesen schon würden sich die folgenden Vertauschungen nach den Multiplikationsregeln der „Substitutionen“ theorie ableiten lassen, gleichwie sie direkt sich ergeben:
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[665/0685]
Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.
Ganz ebenso verhält sich nun die Würfelecke 1 zu den drei ihr
benachbarten 2, 3 und 5, nebst den ihr abliegenden Ecken 4, 6 und 7
und ihrer Gegenecke 8 — wofern die Abstände entlang dem Kanten-
system des Würfels gemessen werden.
Und wie die Würfelecken als gleichwertig zu gelten haben, indem
man jede Ecke in die Lage jeder andern bringen kann, ohne dass der
Würfel aufhört mit sich selbst zusammenzufallen, so kann man auch
durch blosse Vertauschungen von Argumenten a, b oder c mit ihren
Negationen (sowie auch von jenen unter sich) die ganze Konstituenten-
summe so in sich selber transformiren, dass irgend zwei verlangte
Glieder derselben den Platz gewechselt haben werden — sodass, was
oben über den Ursprung a b c in seinem Verhältniss zu den übrigen
Gliedern gesagt ist, auch von jedem andern Gliede als Ursprung wird
gelten müssen.
Um alle analytisch ausführbaren Transformationen der Konstituenten-
summe in sich selbst unter geometrischem Bilde erblicken zu können, wird
man auch den „umgestülpten“ Würfel, das ist denjenigen Würfel, bei
welchem die Ziffern aller Gegenecken ausgetauscht worden, für gleichwertig
gelten zu lassen haben mit dem ursprünglichen Würfel, obwol er mit
diesem nie zur Deckung mit allen gleichnamigen Ecken gebracht werden
kann, demselben vielmehr nur „symmetrisch gleich“ sein wird.
Jene, die Konstituentensumme in sich selbst transformirenden Ver-
tauschungen sind leicht zu ermitteln. Es sind vor allem die folgenden
Produkte von „Transpositionen“, bei denen wir solche Buchstabenvertau-
schungen, die von selbst aus andern folgen, jeweils unter diese schreiben:
(a, a1) (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8); (b, b1) (1, 3) (2, 4) (5, 7) (6, 8);
(c, c1) (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8);
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Aus diesen schon würden sich die folgenden Vertauschungen nach den
Multiplikationsregeln der „Substitutionen“ theorie ableiten lassen, gleichwie
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(a, b, c) (2, 5, 3) (4, 6, 7); (a, c, b) (2, 3, 5) (4, 7, 6)
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(a1, b) (a1, c) (b1, c)
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 665. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/685>, abgerufen am 24.11.2024.
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