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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Gewicht von Aussagen.

Um nun zuzusehen, was in den obigen Subsumtionen dem Minor noch
hinzuzufügen ist, damit dieselben auch im Gebietekalkul gültig als Gleichungen
angeschrieben werden dürfen, mögen wir uns die Aufgabe noch etwas ver-
einfachen.

Nach der schon die weitere Geltung erwiesenermassen besitzenden
Äquivalenz der Def. (3x) können wir nämlich das Subsumtionenprodukt
(x a) (x b) durch die eine Subsumtion (x a b) ersetzen. Hernach
kommen a und b nicht mehr getrennt, sondern nur mehr noch in der Ver-
bindung a b vor, welche man bequemer durch ein einziges Gebietsymbol d
ersetzen wird. Schreibt man alsdann noch a und b für c und d (resp. d
und c), so ist offenbar, dass es sich nur noch um die Beantwortung der
folgenden Frage handelt.

u) Es soll ermittelt werden, welche auf a, b, und x bezügliche
Aussage noch hinzugefügt werden muss zu dem Minor einer jeden der
folgenden vier Subsumtionen:
(a b) {(x a) (x b)}, (a b) {(b x) (a x)},
(a = b) {(x a) = (x b)}, (a = b) {(b x) = (a x)},
damit dieselbe in eine Gleichung übergehe, die für beliebige Gebiete
a, b, x gültig.

Ich will die Betrachtung nur für die erste der vier angegebenen
Subsumtionen durchführen, den Rest dem Leser überlassend.

Zunächst ist die Subsumtion für ein beliebiges x richtig: Wenn a in
b enthalten, so muss, wenn x in a enthalten ist, es nach Pr. II auch in b
enthalten sein. Nach einem späteren Satze -- thx) des § 45 -- würde sie
sich sogar als eine blosse Umschreibung des Pr. II in seiner im § 29 ihm
gegebenen aussagenrechnerischen Fassung (x a) (a b) (x b) hin-
stellen lassen.

Um jene Subsumtion in eine Gleichung mit der linken Seite (a b)
umzuwandeln, genügt es, rechts das Zeichen [Formel 1] voranzuschreiben:
(a b) = [Formel 2] {(x a) (x b)}.

In der That folgt wie erwähnt die Subsumtion rechterhand als eine
für jedes x gültige aus der zur linken. Und umgekehrt auch, wenn die
Subsumtion rechts: (x a) (x b) für jedes x gilt, so folgt auch die
a b zur linken. Dann gilt jene nämlich auch für x = a, und haben
wir (a a) (a b) oder i (a b), das ist nach Th. 5x): (a b) = i.
Mit dieser Betrachtung sind wir aber unsrer obigen Aufgabe noch nicht
näher getreten.

Letztere fordert, dass wir die Subsumtion rechts, den Major
(x a) (x b), nach dem Minor (a b) "entwickeln". Die Ent-
wickelung ergibt sich etwa, indem wir jenen mit der Gleichung
i = (a b) + (a b)
beiderseitig multipliziren. Weil aber

§ 32. Gewicht von Aussagen.

Nach der schon die weitere Geltung erwiesenermassen besitzenden
Äquivalenz der Def. (3×) können wir nämlich das Subsumtionenprodukt
(x ⊆ a) (x ⊆ b) durch die eine Subsumtion (x ⊆ a b) ersetzen. Hernach
kommen a und b nicht mehr getrennt, sondern nur mehr noch in der Ver-
bindung a b vor, welche man bequemer durch ein einziges Gebietsymbol d
ersetzen wird. Schreibt man alsdann noch a und b für c und d (resp. d
und c), so ist offenbar, dass es sich nur noch um die Beantwortung der
folgenden Frage handelt.

υ) Es soll ermittelt werden, welche auf a, b, und x bezügliche
Aussage noch hinzugefügt werden muss zu dem Minor einer jeden der
folgenden vier Subsumtionen:
(a ⊆ b) ⊆ {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)}, (a ⊆ b) ⊆ {(b ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x)},
(a = b) ⊆ {(x ⊆ a) = (x ⊆ b)}, (a = b) ⊆ {(b ⊆ x) = (a ⊆ x)},
damit dieselbe in eine Gleichung übergehe, die für beliebige Gebiete
a, b, x gültig.

Ich will die Betrachtung nur für die erste der vier angegebenen
Subsumtionen durchführen, den Rest dem Leser überlassend.

Zunächst ist die Subsumtion für ein beliebiges x richtig: Wenn a in
b enthalten, so muss, wenn x in a enthalten ist, es nach Pr. II auch in b
enthalten sein. Nach einem späteren Satze — ϑ×) des § 45 — würde sie
sich sogar als eine blosse Umschreibung des Pr. II in seiner im § 29 ihm
gegebenen aussagenrechnerischen Fassung (x ⊆ a) (a ⊆ b) ⊆ (x ⊆ b) hin-
stellen lassen.

Um jene Subsumtion in eine Gleichung mit der linken Seite (a ⊆ b)
umzuwandeln, genügt es, rechts das Zeichen [Formel 1] voranzuschreiben:
(a ⊆ b) = [Formel 2] {(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b)}.

In der That folgt wie erwähnt die Subsumtion rechterhand als eine
für jedes x gültige aus der zur linken. Und umgekehrt auch, wenn die
Subsumtion rechts: (x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b) für jedes x gilt, so folgt auch die
a ⊆ b zur linken. Dann gilt jene nämlich auch für x = a, und haben
wir (a ⊆ a) ⊆ (a ⊆ b) oder i ⊆ (a ⊆ b), das ist nach Th. 5̅×): (a ⊆ b) = i.
Mit dieser Betrachtung sind wir aber unsrer obigen Aufgabe noch nicht
näher getreten.

Letztere fordert, dass wir die Subsumtion rechts, den Major
(x ⊆ a) ⊆ (x ⊆ b), nach dem Minor (a ⊆ b) „entwickeln“. Die Ent-
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beiderseitig multipliziren. Weil aber

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[83/0107] § 32. Gewicht von Aussagen. Um nun zuzusehen, was in den obigen Subsumtionen dem Minor noch hinzuzufügen ist, damit dieselben auch im Gebietekalkul gültig als Gleichungen angeschrieben werden dürfen, mögen wir uns die Aufgabe noch etwas ver- einfachen. Nach der schon die weitere Geltung erwiesenermassen besitzenden Äquivalenz der Def. (3×) können wir nämlich das Subsumtionenprodukt (x a) (x b) durch die eine Subsumtion (x a b) ersetzen. Hernach kommen a und b nicht mehr getrennt, sondern nur mehr noch in der Ver- bindung a b vor, welche man bequemer durch ein einziges Gebietsymbol d ersetzen wird. Schreibt man alsdann noch a und b für c und d (resp. d und c), so ist offenbar, dass es sich nur noch um die Beantwortung der folgenden Frage handelt. υ) Es soll ermittelt werden, welche auf a, b, und x bezügliche Aussage noch hinzugefügt werden muss zu dem Minor einer jeden der folgenden vier Subsumtionen: (a b) {(x a) (x b)}, (a b) {(b x) (a x)}, (a = b) {(x a) = (x b)}, (a = b) {(b x) = (a x)}, damit dieselbe in eine Gleichung übergehe, die für beliebige Gebiete a, b, x gültig. Ich will die Betrachtung nur für die erste der vier angegebenen Subsumtionen durchführen, den Rest dem Leser überlassend. Zunächst ist die Subsumtion für ein beliebiges x richtig: Wenn a in b enthalten, so muss, wenn x in a enthalten ist, es nach Pr. II auch in b enthalten sein. Nach einem späteren Satze — ϑ×) des § 45 — würde sie sich sogar als eine blosse Umschreibung des Pr. II in seiner im § 29 ihm gegebenen aussagenrechnerischen Fassung (x a) (a b) (x b) hin- stellen lassen. Um jene Subsumtion in eine Gleichung mit der linken Seite (a b) umzuwandeln, genügt es, rechts das Zeichen [FORMEL] voranzuschreiben: (a b) = [FORMEL] {(x a) (x b)}. In der That folgt wie erwähnt die Subsumtion rechterhand als eine für jedes x gültige aus der zur linken. Und umgekehrt auch, wenn die Subsumtion rechts: (x a) (x b) für jedes x gilt, so folgt auch die a b zur linken. Dann gilt jene nämlich auch für x = a, und haben wir (a a) (a b) oder i (a b), das ist nach Th. 5̅×): (a b) = i. Mit dieser Betrachtung sind wir aber unsrer obigen Aufgabe noch nicht näher getreten. Letztere fordert, dass wir die Subsumtion rechts, den Major (x a) (x b), nach dem Minor (a b) „entwickeln“. Die Ent- wickelung ergibt sich etwa, indem wir jenen mit der Gleichung i = (a b) + (a b) beiderseitig multipliziren. Weil aber 6*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 83. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/107>, abgerufen am 27.11.2024.

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