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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Siebzehnte Vorlesung.

Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen A = 0 sowie
B = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen
haben, und zwar bedeute:
[30] h = {A = 0}, h' = {B = 0} = k.

Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.

Erstens. Ist A = 0, so gilt nach Def. (2x) auch A B, d. h.
es ist:
h c;
von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400)
folgende Umschreibungen zulässig:
c1 h1, h = h c, c = h + c, h1 = h1 + c1, c1 = h1 c1, h c1 = 0, h1 + c = i.
Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die-
jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, -- und analog
verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen -- demgemäss notiren
wir als ersten Hülfssatz:
10) h c, c1 h1, h = h c, c1 = h1 c1, h c1 = 0.
Vertauscht man hierin in Gedanken A und B, so erhält man dazu
noch ebenso:
10)' k b, b1 k1, k = k b, b1 = k1 b1, k b1 = 0.

Zweitens. Ist A B und B = 0, so folgt nach Th. 5x) auch
A = 0, d. h. es ist:
20) c k h, woraus: c h1 k = 0, c h k = c k, c h1 k1 = c h1, c1 h1 k = h1 k.
Analog gilt desgleichen:
20)' b h k, b h k1 = 0, b h k = b h, b h1 k1 = b k1, b1 h k1 = h k1.

Drittens. Ist A = B und A = 0, so folgt nach Th. 4) auch
B = 0, d. h. es ist d h k und analog d k h. Endlich aus A = 0
und B = 0 folgt in gleicher Weise A = B, d. h. es ist auch h k d.
Somit ist zu notiren:
30) d h k, d h k1 = 0, d h k = d h, d h1 k1 = d k1 d1 h k1 = h k1,
30)' d k h, d h1 k = 0, d h k = d k, d h1 k1 = d h1, d1 h1 k = h1 k,
30)'' h k d, d1 h k = 0, d h k = h k, d1 h k1 = d1 h, d1 h1 k = d1 k,
oder, wenn wir einen Teil dieser Resultate zusammenfassen:
30)''' h k = d h = d k = d h k, d h1 = d k1 = d h1 k1. --

Siebzehnte Vorlesung.

Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen A = 0 sowie
B = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen
haben, und zwar bedeute:
[30] h = {A = 0}, h' = {B = 0} = k.

Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.

Erstens. Ist A = 0, so gilt nach Def. (2×) auch A ⊆ B, d. h.
es ist:
h ⊆ c;
von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400)
folgende Umschreibungen zulässig:
c1 ⊆ h1, h = h c, c = h + c, h1 = h1 + c1, c1 = h1 c1, h c1 = 0, h1 + c = i.
Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die-
jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, — und analog
verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen — demgemäss notiren
wir als ersten Hülfssatz:
10) h ⊆ c, c1 ⊆ h1, h = h c, c1 = h1 c1, h c1 = 0.
Vertauscht man hierin in Gedanken A und B, so erhält man dazu
noch ebenso:
10)' k ⊆ b, b1 ⊆ k1, k = k b, b1 = k1 b1, k b1 = 0.

Zweitens. Ist A ⊆ B und B = 0, so folgt nach Th. 5×) auch
A = 0, d. h. es ist:
20) c k ⊆ h, woraus: c h1 k = 0, c h k = c k, c h1 k1 = c h1, c1 h1 k = h1 k.
Analog gilt desgleichen:
20)' b h ⊆ k, b h k1 = 0, b h k = b h, b h1 k1 = b k1, b1 h k1 = h k1.

Drittens. Ist A = B und A = 0, so folgt nach Th. 4) auch
B = 0, d. h. es ist d h ⊆ k und analog d k ⊆ h. Endlich aus A = 0
und B = 0 folgt in gleicher Weise A = B, d. h. es ist auch h k ⊆ d.
Somit ist zu notiren:
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[108/0132] Siebzehnte Vorlesung. Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen A = 0 sowie B = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen haben, und zwar bedeute: [30] h = {A = 0}, h' = {B = 0} = k. Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen. Erstens. Ist A = 0, so gilt nach Def. (2×) auch A B, d. h. es ist: h c; von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400) folgende Umschreibungen zulässig: c1 h1, h = h c, c = h + c, h1 = h1 + c1, c1 = h1 c1, h c1 = 0, h1 + c = i. Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die- jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, — und analog verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen — demgemäss notiren wir als ersten Hülfssatz: 10) h c, c1 h1, h = h c, c1 = h1 c1, h c1 = 0. Vertauscht man hierin in Gedanken A und B, so erhält man dazu noch ebenso: 10)' k b, b1 k1, k = k b, b1 = k1 b1, k b1 = 0. Zweitens. Ist A B und B = 0, so folgt nach Th. 5×) auch A = 0, d. h. es ist: 20) c k h, woraus: c h1 k = 0, c h k = c k, c h1 k1 = c h1, c1 h1 k = h1 k. Analog gilt desgleichen: 20)' b h k, b h k1 = 0, b h k = b h, b h1 k1 = b k1, b1 h k1 = h k1. Drittens. Ist A = B und A = 0, so folgt nach Th. 4) auch B = 0, d. h. es ist d h k und analog d k h. Endlich aus A = 0 und B = 0 folgt in gleicher Weise A = B, d. h. es ist auch h k d. Somit ist zu notiren: 30) d h k, d h k1 = 0, d h k = d h, d h1 k1 = d k1 d1 h k1 = h k1, 30)' d k h, d h1 k = 0, d h k = d k, d h1 k1 = d h1, d1 h1 k = h1 k, 30)'' h k d, d1 h k = 0, d h k = h k, d1 h k1 = d1 h, d1 h1 k = d1 k, oder, wenn wir einen Teil dieser Resultate zusammenfassen: 30)''' h k = d h = d k = d h k, d h1 = d k1 = d h1 k1. —

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 108. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/132>, abgerufen am 23.11.2024.

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