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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.

Demnächst soll f definirt werden durch:
[40] f = c'1 c = b1 c, somit f1 = c' + c1 = b + c1,
{A B} = {A B} {B A} = {A B} {A B};
und analog e durch:
[50] e = f' = c' c1 = b c1, e1 = c1' + c = b1 + c,
{A B} = {B A} = {B A} {A B} = {A B} {A B}.

Viertens folgt dann, weil unter 10)' bereits b1 k = 0 erwiesen ist,
dass auch b1 c k = 0, oder:
40) f k = 0, f k1 = f, f1 k = k, k f1, f k1,
und analog, weil c1 h = 0 nach 10) ist:
40)' e h = 0, e h1 = e, e1 h = h, h e1, e h1.

Die letzten Subsumtionen rechts zeigen, dass in jeder Unter- oder
Überordnung der terminus major von 0 verschieden sein muss.

Fünftens. Sofort folgt aus den Definitionen [20], [40], [50] nach
Th. 30x) auch:
50) d e = 0, d f = 0, e f = 0,
woraus zu sehen ist, dass die Fälle d, e, f einander gegenseitig aus-
schliessen. In Bezug auf Gleichheit d und Unterordnung f wurde dies
schon in § 1 betont.

Sechstens haben wir nach Th. 30x):
b = b · i = b (c + c1) = b c + b c1, ebenso c = b c + b1 c
und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses:
60) b = d + e, c = d + f, b1 = d1 e1, c1 = d1 f1.

Ausführlich angeschrieben lautet die zweite c = f + d dieser Glei-
chungen nun:
{A B} = {A B} + {A = B},
womit es gerechtfertigt erscheint, das Subsumtionszeichen als "unter-
geordnet oder gleich" zu lesen. Die Formel sagt nämlich als disjunktives
Urteil aus: wenn A B ist, so ist entweder A untergeordnet B; oder
aber ["oder aber" wegen d f = 0, cf. 50)] es ist A gleich B -- und
vice versa. Betrachtungen, welche wir motivirens halber in dem ein-
leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit

§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.

Demnächst soll f definirt werden durch:
[40] f = c'1 c = b1 c, somit f1 = c' + c1 = b + c1,
{A ⊂ B} = {A ⊆ B} {B ⊆ A} = {A ⊆ B} {A ⊆ B};
und analog e durch:
[50] e = f' = c' c1 = b c1, e1 = c1' + c = b1 + c,
{A ⊃ B} = {B ⊂ A} = {B ⊆ A} {A ⊆ B} = {A ⊆ B} {A ⊆ B}.

Viertens folgt dann, weil unter 10)' bereits b1 k = 0 erwiesen ist,
dass auch b1 c k = 0, oder:
40) f k = 0, f k1 = f, f1 k = k, k ⊆ f1, f ⊆ k1,
und analog, weil c1 h = 0 nach 10) ist:
40)' e h = 0, e h1 = e, e1 h = h, h ⊆ e1, e ⊆ h1.

Die letzten Subsumtionen rechts zeigen, dass in jeder Unter- oder
Überordnung der terminus major von 0 verschieden sein muss.

Fünftens. Sofort folgt aus den Definitionen [20], [40], [50] nach
Th. 30×) auch:
50) d e = 0, d f = 0, e f = 0,
woraus zu sehen ist, dass die Fälle d, e, f einander gegenseitig aus-
schliessen. In Bezug auf Gleichheit d und Unterordnung f wurde dies
schon in § 1 betont.

Sechstens haben wir nach Th. 30×):
b = b · i = b (c + c1) = b c + b c1, ebenso c = b c + b1 c
und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses:
60) b = d + e, c = d + f, b1 = d1 e1, c1 = d1 f1.

Ausführlich angeschrieben lautet die zweite c = f + d dieser Glei-
chungen nun:
{A ⊆ B} = {A ⊂ B} + {A = B},
womit es gerechtfertigt erscheint, das Subsumtionszeichen ⊆ als „unter-
geordnet oder gleich“ zu lesen. Die Formel sagt nämlich als disjunktives
Urteil aus: wenn A ⊆ B ist, so ist entweder A untergeordnet B; oder
aber [„oder aber“ wegen d f = 0, cf. 50)] es ist A gleich B — und
vice versa. Betrachtungen, welche wir motivirens halber in dem ein-
leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit

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[109/0133] § 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt. Demnächst soll f definirt werden durch: [40] f = c'1 c = b1 c, somit f1 = c' + c1 = b + c1, {A ⊂ B} = {A  B} {B  A} = {A  B} {A  B}; und analog e durch: [50] e = f' = c' c1 = b c1, e1 = c1' + c = b1 + c, {A ⊃ B} = {B ⊂ A} = {B  A} {A  B} = {A  B} {A  B}. Viertens folgt dann, weil unter 10)' bereits b1 k = 0 erwiesen ist, dass auch b1 c k = 0, oder: 40) f k = 0, f k1 = f, f1 k = k, k  f1, f  k1, und analog, weil c1 h = 0 nach 10) ist: 40)' e h = 0, e h1 = e, e1 h = h, h  e1, e  h1. Die letzten Subsumtionen rechts zeigen, dass in jeder Unter- oder Überordnung der terminus major von 0 verschieden sein muss. Fünftens. Sofort folgt aus den Definitionen [20], [40], [50] nach Th. 30×) auch: 50) d e = 0, d f = 0, e f = 0, woraus zu sehen ist, dass die Fälle d, e, f einander gegenseitig aus- schliessen. In Bezug auf Gleichheit d und Unterordnung f wurde dies schon in § 1 betont. Sechstens haben wir nach Th. 30×): b = b · i = b (c + c1) = b c + b c1, ebenso c = b c + b1 c und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses: 60) b = d + e, c = d + f, b1 = d1 e1, c1 = d1 f1. Ausführlich angeschrieben lautet die zweite c = f + d dieser Glei- chungen nun: {A  B} = {A ⊂ B} + {A = B}, womit es gerechtfertigt erscheint, das Subsumtionszeichen  als „unter- geordnet oder gleich“ zu lesen. Die Formel sagt nämlich als disjunktives Urteil aus: wenn A  B ist, so ist entweder A untergeordnet B; oder aber [„oder aber“ wegen d f = 0, cf. 50)] es ist A gleich B — und vice versa. Betrachtungen, welche wir motivirens halber in dem ein- leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 109. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/133>, abgerufen am 27.11.2024.