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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.

[60] a = {A B} = {A B 0} = {A B = 0}
welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5x) ja äquivalent sind.

Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32)
ergibt sich hienach auch die Definition von
a1 = {A B} = {A B 0} = {A B 0}.

Achtens. Da aus A = 0 auch A B = 0 nach Th. 22x) folgt, so
haben wir:
80) h a, a1 h1, a1 h = 0, a1 h1 = a1, a h = h,
80)' k a, a1 k1, a1 k = 0, a1 k1 = a1, a k = k,
und muss hienach namentlich sein:
80)'' a1 = a1 h1 = a1 k1 = a1 h1 k1
-- letzteres gemäss Th. 14x), indem a1 = a1 a1 = a1 h, · a1 k1 nach dem
Vorhergehenden ist.

Neuntens. Wenn neben A B = 0 auch A B gilt, so folgt
nach Th. 16x) A B B B, also 0 B oder 0 = B nach bekannten
Sätzen, d. h. wir haben:
90) a b k, a b k1 = 0, a b k = a b, a b1 k1 = a k1, a1 b k1 = b k1.

Analog ist (A B = 0) (A B) (A = 0), oder:
90)' a c h, a c h1 = 0, a c h = a c, a c1 h1 = a h1, a1 c h1 = c h1.

Durch beiderseitiges Multipliziren mit c1 resp. b1 folgt aus der letzten
rechts von den gewonnenen Gleichungen noch:
a1 b c1 k1 = b c1 k1 und a1 b1 c h1 = b1 c h1,
oder wegen Def. [40] und [50]:
a1 e k1 = e k1, a1 f h1 = f h1.

Nach 80) dürfen wir aber a1 k1 und a1 h1 durch a1 links ersetzen
und erhalten:

90)''

a1 e = e k1,

90)'''

a1 f = f h1,

womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist, dass die Unter-
ordnung A B nur soferne A 0 ist unter die Beziehung A B der
Gebietgemeinschaft fällt, etc.

Zehntens. Ist A B = 0 und zugleich A = B, so folgt auch
A A = 0 oder A = 0, desgleichen B = 0. Also haben wir:

§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.

[60] a = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B = 0}
welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5×) ja äquivalent sind.

Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32)
ergibt sich hienach auch die Definition von
a1 = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B ≠ 0}.

Achtens. Da aus A = 0 auch A B = 0 nach Th. 22×) folgt, so
haben wir:
80) h ⊆ a, a1 ⊆ h1, a1 h = 0, a1 h1 = a1, a h = h,
80)' k ⊆ a, a1 ⊆ k1, a1 k = 0, a1 k1 = a1, a k = k,
und muss hienach namentlich sein:
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— letzteres gemäss Th. 14×), indem a1 = a1 a1 = a1 h, · a1 k1 nach dem
Vorhergehenden ist.

Neuntens. Wenn neben A B = 0 auch A ⊆ B gilt, so folgt
nach Th. 16×) A B ⊆ B B, also 0 ⊆ B oder 0 = B nach bekannten
Sätzen, d. h. wir haben:
90) a b ⊆ k, a b k1 = 0, a b k = a b, a b1 k1 = a k1, a1 b k1 = b k1.

Analog ist (A B = 0) (A ⊆ B) ⊆ (A = 0), oder:
90)' a c ⊆ h, a c h1 = 0, a c h = a c, a c1 h1 = a h1, a1 c h1 = c h1.

Nach 80) dürfen wir aber a1 k1 und a1 h1 durch a1 links ersetzen
und erhalten:

90)''

a1 e = e k1,

90)'''

a1 f = f h1,

womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist, dass die Unter-
ordnung A ⊂ B nur soferne A ≠ 0 ist unter die Beziehung A ⊆ B der
Gebietgemeinschaft fällt, etc.

Zehntens. Ist A B = 0 und zugleich A = B, so folgt auch
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[111/0135] § 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen. [60] a = {A B} = {A B 0} = {A B = 0} welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5×) ja äquivalent sind. Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32) ergibt sich hienach auch die Definition von a1 = {A B} = {A B 0} = {A B ≠ 0}. Achtens. Da aus A = 0 auch A B = 0 nach Th. 22×) folgt, so haben wir: 80) h a, a1 h1, a1 h = 0, a1 h1 = a1, a h = h, 80)' k a, a1 k1, a1 k = 0, a1 k1 = a1, a k = k, und muss hienach namentlich sein: 80)'' a1 = a1 h1 = a1 k1 = a1 h1 k1 — letzteres gemäss Th. 14×), indem a1 = a1 a1 = a1 h, · a1 k1 nach dem Vorhergehenden ist. Neuntens. Wenn neben A B = 0 auch A B gilt, so folgt nach Th. 16×) A B B B, also 0 B oder 0 = B nach bekannten Sätzen, d. h. wir haben: 90) a b k, a b k1 = 0, a b k = a b, a b1 k1 = a k1, a1 b k1 = b k1. Analog ist (A B = 0) (A B) (A = 0), oder: 90)' a c h, a c h1 = 0, a c h = a c, a c1 h1 = a h1, a1 c h1 = c h1. Durch beiderseitiges Multipliziren mit c1 resp. b1 folgt aus der letzten rechts von den gewonnenen Gleichungen noch: a1 b c1 k1 = b c1 k1 und a1 b1 c h1 = b1 c h1, oder wegen Def. [40] und [50]: a1 e k1 = e k1, a1 f h1 = f h1. Nach 80) dürfen wir aber a1 k1 und a1 h1 durch a1 links ersetzen und erhalten: 90)'' a1 e = e k1, 90)''' a1 f = f h1, womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist, dass die Unter- ordnung A ⊂ B nur soferne A ≠ 0 ist unter die Beziehung A B der Gebietgemeinschaft fällt, etc. Zehntens. Ist A B = 0 und zugleich A = B, so folgt auch A A = 0 oder A = 0, desgleichen B = 0. Also haben wir:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 111. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/135>, abgerufen am 27.11.2024.

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