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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
a b a, a b b, a a + b, b a + b,
wonach wir haben:
a1 (a b)1(a + b)1 a1
b1 (a b)1(a + b)1 b1
und sich nach Def. (3) diese noch ausstehenden Subsumtionen:
a1 + b1 (a b)1(a + b)1 a1 b1
ergeben, somit die Sätze Th. 36) kraft Def. (1) bewiesen wären.
Schade nur, dass wir zum Beweis unsres soeben gebrauchten Theo-
rems 37) selbst der Theoreme 36) bedurften -- sonach hier blos ein
circulus in demonstrando vorlag -- und dass Herrn Peirce's blos auf
den Aussagenkalkul zugeschnittene Deduktion jener Kontrapositions-
regel sich auf den Klassenkalkul nicht übertragen zu lassen scheint!
Ich verhehle mir keineswegs, dass in der späten Stellung, welche
wir dem Theorem 37) (a b) = (b1 a1) ungeachtet seiner Einfach-
heit und seines hohen Grades von unmittelbarer Evidenz in dem Systeme
unsrer Theorie anweisen mussten, sich möglicherweise noch eine Unvoll-
kommenheit von deren, obzwar völlig korrekten, systematischem Auf-
baue kund gibt. Wir hatten uns genötigt gesehen, zu dessen Beweise
uns auf die Theoreme 20), 32) und 36), die von Gleichungen handeln,
zu berufen, wogegen es natürlicher erschiene, namentlich das ent-
sprechende Kontrapositionstheorem 32) für Gleichungen: (a = b) = (a1 = b1)
umgekehrt kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen.
Ob aber solch umgekehrter Weg auch durchaus gangbar, ob es
möglich ist, in seinem Verfolge ohne mehr oder verwickeltere Prinzipien
zu postuliren als die sind, mit denen wir ausgekommen, das ganze
Gebäude in gleicher Lückenlosigkeit und Korrektheit zu errichten --
dies zu entscheiden müssen wir künftigen Forschungen und eventuell
begabteren oder glücklicheren Denkern überlassen.
Seite 356, Zeile 4 v. u. st. a l. a1.
" 377. Zu Aufgabe m) macht Herr Wilhelm Rudeck in Glatz i. Schles. die
treffende Bemerkung, dass man, um die Gültigkeit der Subsumtion
a c1 a b1 + b c1
auf schuellstem Wege einzusehen, blos das Prädikat derselben gemäss
Th. i), Bd. 1, S. 376 in b c1 + c1 a + a b1 umzuschreiben braucht, wonach
sie sich dann in der That kraft Th. 6+) unmittelbar und elegant ergibt.
" 379, Zeile 3 v. u. könnte nach einer Bemerkung von Lüroth das Peirce'sche
Theorem v)(a b c + d) (a c1 b1 + d)
aus dessen Theoremen:
ox) (a b c) (a c1 b1) und o+) (a b + c) (b1 c + a1),
ja schon aus einem von ihnen, z. B. dem erstern ox), etwa wie folgt
abgeleitet werden:
Wenn a b c + d ist, so folgt nach jenem a (c + d)1 b1 oder
a c1 d1 b1 und dies, durch beiderseitiges Addiren verbunden mit der
aus Th. 6x) ohnehin selbstverständlichen Subsumtion a c1 d d gibt:
a c1 b1 + d, q. e. d.
" 384 möchte ich noch als ein paar geeignete Exempel:
a x + b x1 + a b1 + a1 b = a + b, a b + b (x + a1) + a (y + b1) = a + b
unter kh) mit eingereiht wissen.
" 391, Zeile 16 v. o. oder u. st. Th. 15x) l. Th. 17x).
" 542, " 17 v. u. st. dieselbe l. diese.
" 553 sq. Herr Macfarlane macht mich darauf aufmerksam, dass ich bei
der 30. Aufgabe den Wortlaut seiner zweiten Prämisse nicht in seinem
Sinne verstanden, anstatt der seinigen also eine etwas andere Aufgabe
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
a b ⊆ a, a b ⊆ b, a ⊆ a + b, b ⊆ a + b,
wonach wir haben:
a1 ⊆ (a b)1(a + b)1 ⊆ a1
b1 ⊆ (a b)1(a + b)1 ⊆ b1
und sich nach Def. (3) diese noch ausstehenden Subsumtionen:
a1 + b1 ⊆ (a b)1(a + b)1 ⊆ a1 b1
ergeben, somit die Sätze Th. 36) kraft Def. (1) bewiesen wären.
Schade nur, dass wir zum Beweis unsres soeben gebrauchten Theo-
rems 37) selbst der Theoreme 36) bedurften — sonach hier blos ein
circulus in demonstrando vorlag — und dass Herrn Peirce’s blos auf
den Aussagenkalkul zugeschnittene Deduktion jener Kontrapositions-
regel sich auf den Klassenkalkul nicht übertragen zu lassen scheint!
Ich verhehle mir keineswegs, dass in der späten Stellung, welche
wir dem Theorem 37) (a ⊆ b) = (b1 ⊆ a1) ungeachtet seiner Einfach-
heit und seines hohen Grades von unmittelbarer Evidenz in dem Systeme
unsrer Theorie anweisen mussten, sich möglicherweise noch eine Unvoll-
kommenheit von deren, obzwar völlig korrekten, systematischem Auf-
baue kund gibt. Wir hatten uns genötigt gesehen, zu dessen Beweise
uns auf die Theoreme 20), 32) und 36), die von Gleichungen handeln,
zu berufen, wogegen es natürlicher erschiene, namentlich das ent-
sprechende Kontrapositionstheorem 32) für Gleichungen: (a = b) = (a1 = b1)
umgekehrt kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen.
Ob aber solch umgekehrter Weg auch durchaus gangbar, ob es
möglich ist, in seinem Verfolge ohne mehr oder verwickeltere Prinzipien
zu postuliren als die sind, mit denen wir ausgekommen, das ganze
Gebäude in gleicher Lückenlosigkeit und Korrektheit zu errichten —
dies zu entscheiden müssen wir künftigen Forschungen und eventuell
begabteren oder glücklicheren Denkern überlassen.
Seite 356, Zeile 4 v. u. st. a l. a1.
„ 377. Zu Aufgabe μ) macht Herr Wilhelm Rudeck in Glatz i. Schles. die
treffende Bemerkung, dass man, um die Gültigkeit der Subsumtion
a c1 ⊆ a b1 + b c1
auf schuellstem Wege einzusehen, blos das Prädikat derselben gemäss
Th. ι), Bd. 1, S. 376 in b c1 + c1 a + a b1 umzuschreiben braucht, wonach
sie sich dann in der That kraft Th. 6+) unmittelbar und elegant ergibt.
„ 379, Zeile 3 v. u. könnte nach einer Bemerkung von Lüroth das Peirce’sche
Theorem v)(a b ⊆ c + d) ⊆ (a c1 ⊆ b1 + d)
aus dessen Theoremen:
ο×) (a b ⊆ c) ⊆ (a c1 ⊆ b1) und ο+) (a ⊆ b + c) ⊆ (b1 ⊆ c + a1),
ja schon aus einem von ihnen, z. B. dem erstern ο×), etwa wie folgt
abgeleitet werden:
Wenn a b ⊆ c + d ist, so folgt nach jenem a (c + d)1 ⊆ b1 oder
a c1 d1 ⊆ b1 und dies, durch beiderseitiges Addiren verbunden mit der
aus Th. 6×) ohnehin selbstverständlichen Subsumtion a c1 d ⊆ d gibt:
a c1 ⊆ b1 + d, q. e. d.
„ 384 möchte ich noch als ein paar geeignete Exempel:
a x + b x1 + a b1 + a1 b = a + b, a b + b (x + a1) + a (y + b1) = a + b
unter χ) mit eingereiht wissen.
„ 391, Zeile 16 v. o. oder u. st. Th. 15×) l. Th. 17×).
„ 542, „ 17 v. u. st. dieselbe l. diese.
„ 553 sq. Herr Macfarlane macht mich darauf aufmerksam, dass ich bei
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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. XI. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/19>, abgerufen am 03.12.2024.