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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.

wenn etwa in einem Gliede die Gleichung (A = 0) fehlen sollte, dieselbe
dennoch als vorhanden hinstellen, indem es freisteht, und man zu dem Ende
nur nötig hat, sich unter A die 0 zu denken, wo dann der Faktor (A = 0)
den Wert i annimmt, nämlich als die Aussage:
(0 = 0), = i
und als eine stets gültige anzuerkennen ist, weshalb jener Faktor nach
Belieben weggelassen oder auch zugefügt werden kann, cf. Th. 21x). Ebenso
braucht man, wo zu einer Gleichung keine Ungleichungen weiter hinzu-
treten sollten, sich in unserm Schema blos B = C = D = ... = i resp. 1
zu denken, wo dann ebenso diese Ungleichungsfaktoren sämtlich den Wert
(1 0) = i
erhalten werden und ihre Zufügung ohne Einfluss ist. Man kann so auch
für die erwähnten beiden Vorkommnisse das Schema unsres allgemeinen
Gliedes in u) als das allgemein zutreffende aufrecht erhalten.

Von der Annahme aus, dass für unser Prämissensystem ein ver-
baler Ausdruck vorliege, dass die Prämissen eines zu lösenden Problems
ursprünglich in der Wortsprache niedergelegt gewesen seien, sind wir
vorstehend zu der Einsicht in den notwendigen Bau t) oder u) der
vereinigten Aussage dieser Prämissen gelangt. Auf Grund der Ergeb-
nisse des § 36 hätten wir augenscheinlich zu derselben Einsicht auch
gelangen müssen, wofern wir etwa die Annahme zum Ausgangspunkte
nehmen wollten, dass unsre Prämissen in der Zeichensprache des Kalkuls
gegeben gewesen wären in Gestalt von irgendwelchen Umfangsbeziehungen
und Funktionen von solche statuirenden Aussagen.

Dual entsprechend liesse sich auch beweisen, dass ebensogut der
Gesamtaussage auch die Form gegeben werden kann, zunächst nur
mittelst Zerlegung in ihre letzten Faktoren:
ph) A = P {S (A 0) + S (B = 0)}
worin jetzt aber den A und B andere Bedeutungen, als wie in r), zu-
kommen möchten, die Zeichen P und S auch neue Erstreckung haben
werden. Und dann mittelst der zu s) analogen Vereinfachung:
kh) S (A 0) = (S A 0),
wenn wieder S A durch ein einziges Buchstabensymbol vertreten wird:
ps)

P {(A 0) + S (B = 0)} = i
0.

Doch wird man praktisch vor der vorstehenden jener ersten Form
u) in der Regel den Vorzug geben, weil man nach der aus der Arith-
metik überkommenen Gewöhnung bequemer mit Summen von Monomen

Neunzehnte Vorlesung.

wenn etwa in einem Gliede die Gleichung (A = 0) fehlen sollte, dieselbe
dennoch als vorhanden hinstellen, indem es freisteht, und man zu dem Ende
nur nötig hat, sich unter A die 0 zu denken, wo dann der Faktor (A = 0)
den Wert i annimmt, nämlich als die Aussage:
(0 = 0), = i
und als eine stets gültige anzuerkennen ist, weshalb jener Faktor nach
Belieben weggelassen oder auch zugefügt werden kann, cf. Th. 2̅1̅×). Ebenso
braucht man, wo zu einer Gleichung keine Ungleichungen weiter hinzu-
treten sollten, sich in unserm Schema blos B = C = D = … = i resp. 1
zu denken, wo dann ebenso diese Ungleichungsfaktoren sämtlich den Wert
(1 ≠ 0) = i
erhalten werden und ihre Zufügung ohne Einfluss ist. Man kann so auch
für die erwähnten beiden Vorkommnisse das Schema unsres allgemeinen
Gliedes in υ) als das allgemein zutreffende aufrecht erhalten.

Von der Annahme aus, dass für unser Prämissensystem ein ver-
baler Ausdruck vorliege, dass die Prämissen eines zu lösenden Problems
ursprünglich in der Wortsprache niedergelegt gewesen seien, sind wir
vorstehend zu der Einsicht in den notwendigen Bau τ) oder υ) der
vereinigten Aussage dieser Prämissen gelangt. Auf Grund der Ergeb-
nisse des § 36 hätten wir augenscheinlich zu derselben Einsicht auch
gelangen müssen, wofern wir etwa die Annahme zum Ausgangspunkte
nehmen wollten, dass unsre Prämissen in der Zeichensprache des Kalkuls
gegeben gewesen wären in Gestalt von irgendwelchen Umfangsbeziehungen
und Funktionen von solche statuirenden Aussagen.

Dual entsprechend liesse sich auch beweisen, dass ebensogut der
Gesamtaussage auch die Form gegeben werden kann, zunächst nur
mittelst Zerlegung in ihre letzten Faktoren:
φ) Α = Π {Σ (A ≠ 0) + Σ (B = 0)}
worin jetzt aber den A und B andere Bedeutungen, als wie in ϱ), zu-
kommen möchten, die Zeichen Π und Σ auch neue Erstreckung haben
werden. Und dann mittelst der zu σ) analogen Vereinfachung:
χ) Σ (A ≠ 0) = (Σ A ≠ 0),
wenn wieder Σ A durch ein einziges Buchstabensymbol vertreten wird:
ψ)

Π {(A ≠ 0) + Σ (B = 0)} = i
≠ 0.

Doch wird man praktisch vor der vorstehenden jener ersten Form
υ) in der Regel den Vorzug geben, weil man nach der aus der Arith-
metik überkommenen Gewöhnung bequemer mit Summen von Monomen

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[190/0214] Neunzehnte Vorlesung. wenn etwa in einem Gliede die Gleichung (A = 0) fehlen sollte, dieselbe dennoch als vorhanden hinstellen, indem es freisteht, und man zu dem Ende nur nötig hat, sich unter A die 0 zu denken, wo dann der Faktor (A = 0) den Wert i annimmt, nämlich als die Aussage: (0 = 0), = i und als eine stets gültige anzuerkennen ist, weshalb jener Faktor nach Belieben weggelassen oder auch zugefügt werden kann, cf. Th. 2̅1̅×). Ebenso braucht man, wo zu einer Gleichung keine Ungleichungen weiter hinzu- treten sollten, sich in unserm Schema blos B = C = D = … = i resp. 1 zu denken, wo dann ebenso diese Ungleichungsfaktoren sämtlich den Wert (1 ≠ 0) = i erhalten werden und ihre Zufügung ohne Einfluss ist. Man kann so auch für die erwähnten beiden Vorkommnisse das Schema unsres allgemeinen Gliedes in υ) als das allgemein zutreffende aufrecht erhalten. Von der Annahme aus, dass für unser Prämissensystem ein ver- baler Ausdruck vorliege, dass die Prämissen eines zu lösenden Problems ursprünglich in der Wortsprache niedergelegt gewesen seien, sind wir vorstehend zu der Einsicht in den notwendigen Bau τ) oder υ) der vereinigten Aussage dieser Prämissen gelangt. Auf Grund der Ergeb- nisse des § 36 hätten wir augenscheinlich zu derselben Einsicht auch gelangen müssen, wofern wir etwa die Annahme zum Ausgangspunkte nehmen wollten, dass unsre Prämissen in der Zeichensprache des Kalkuls gegeben gewesen wären in Gestalt von irgendwelchen Umfangsbeziehungen und Funktionen von solche statuirenden Aussagen. Dual entsprechend liesse sich auch beweisen, dass ebensogut der Gesamtaussage auch die Form gegeben werden kann, zunächst nur mittelst Zerlegung in ihre letzten Faktoren: φ) Α = Π {Σ (A ≠ 0) + Σ (B = 0)} worin jetzt aber den A und B andere Bedeutungen, als wie in ϱ), zu- kommen möchten, die Zeichen Π und Σ auch neue Erstreckung haben werden. Und dann mittelst der zu σ) analogen Vereinfachung: χ) Σ (A ≠ 0) = (Σ A ≠ 0), wenn wieder Σ A durch ein einziges Buchstabensymbol vertreten wird: ψ) Π {(A ≠ 0) + Σ (B = 0)} = i ≠ 0. Doch wird man praktisch vor der vorstehenden jener ersten Form υ) in der Regel den Vorzug geben, weil man nach der aus der Arith- metik überkommenen Gewöhnung bequemer mit Summen von Monomen

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 190. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/214>, abgerufen am 27.11.2024.

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