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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 40. Mitchell's allgemeine Form der Gesamtaussage der Data.
(Produkten) als mit Produkten von Polynomen (Summen) rechnet,
namentlich auch lieber die Multiplikationsregel für Polynome sowie
das (erste) Distributionsgesetz, als wie deren duales Gegenstück an-
wendet.

Anstatt des Symbols i rechterhand in u) und ps) könnte man,
falls es beliebt (und für gewisse Fälle werden wir vielleicht es vor-
ziehen) auch 0 schreiben, desgleichen für die 0 rechts i, in Anbetracht,
dass statt A = i auch A1 = 0 als damit gleichbedeutend gesagt werden
kann, imgleichen wie auch (A 0) = (A1 1) gilt. Der Negation A1
von A würde sich aber, kraft der Allgemeinheit der vorausgeschickten
Erwägungen, ebenfalls die Form der linken Seite von u), oder nach
Belieben ps), erteilen lassen. Auf diese Weise könnte man also hin-
bringen, dass in unsern Formeln durchweg nur 0 als rechte Seite
sämtlicher Vergleichungen erschiene, oder auch wenn man will, durch-
weg nur i.

Die vorstehenden Sätze u) und ps) hat schon Herr Mitchell1 gegeben.
Beispiele zu denselben werden wir in Bälde bringen.

Die Faktoren (A = 0), (B 0), (C 0), ... in u) waren die un-
mittelbaren Unteraussagen der Gesamtaussage A.

Es kann sein, dass sie zugleich deren letzte Unteraussagen sind.

Der Fall, wo dies nicht zutrifft, lässt sich aber auf den Fall, wo es
zutrifft, wie wir sehen werden, stets zurückführen, wofern wir nur mit
Aussagen von bestimmtem Sinne operiren und diesen konstant festhalten.

Zunächst beachte man, dass, falls es zutrifft, jene Faktoren pri-
märe Urteile sein werden, d. h. Urteile nicht wieder über Urteile,
sondern solche, welche von den Dingen selbst handeln, Urteile über
gewisse Klassen von Dingen. Es werden dann also die linken Seiten
A, B, C, ... jener Faktoraussagen nicht wieder Aussagen repräsen-
tiren, sondern Klassensymbole sein, oder -- können wir im Hinblick
auf § 3 auch sagen -- Gebietssymbole.

Die Gesamtaussage A ist in diesem Falle eine sekundäre zu nennen.

Eine weitere Vereinfachung ihrer Form scheint alsdann sich allgemein
nicht erzielen zu lassen. Namentlich wird es nicht gestattet sein, die Un-
gleichungen B 0, C 0, etc. in die Gleichungen B = 1, C = 1, etc.
umzuschreiben, welche (die 1 durch die mit Tupfen i ersetzt) mit jenen
nur dann sicher äquivalent sein müssten, wenn B, C etc. selbst wieder
Aussagen von konstant festzuhaltendem Sinne vorstellten.

Betrachten wir jetzt aber auch den Fall, wo die Gesamtaussage
eine höhere als sekundäre ist, und nehmen zunächst einmal an, dass
alle unsre Symbole A, B, C, D, ... selbst wieder Aussagensymbole seien.

§ 40. Mitchell’s allgemeine Form der Gesamtaussage der Data.
(Produkten) als mit Produkten von Polynomen (Summen) rechnet,
namentlich auch lieber die Multiplikationsregel für Polynome sowie
das (erste) Distributionsgesetz, als wie deren duales Gegenstück an-
wendet.

Anstatt des Symbols i rechterhand in υ) und ψ) könnte man,
falls es beliebt (und für gewisse Fälle werden wir vielleicht es vor-
ziehen) auch 0 schreiben, desgleichen für die 0 rechts i, in Anbetracht,
dass statt Α = i auch Α1 = 0 als damit gleichbedeutend gesagt werden
kann, imgleichen wie auch (Α ≠ 0) = (Α1 ≠ 1) gilt. Der Negation Α1
von Α würde sich aber, kraft der Allgemeinheit der vorausgeschickten
Erwägungen, ebenfalls die Form der linken Seite von υ), oder nach
Belieben ψ), erteilen lassen. Auf diese Weise könnte man also hin-
bringen, dass in unsern Formeln durchweg nur 0 als rechte Seite
sämtlicher Vergleichungen erschiene, oder auch wenn man will, durch-
weg nur i.

Die vorstehenden Sätze υ) und ψ) hat schon Herr Mitchell1 gegeben.
Beispiele zu denselben werden wir in Bälde bringen.

Die Faktoren (A = 0), (B ≠ 0), (C ≠ 0), … in υ) waren die un-
mittelbaren Unteraussagen der Gesamtaussage Α.

Es kann sein, dass sie zugleich deren letzte Unteraussagen sind.

Der Fall, wo dies nicht zutrifft, lässt sich aber auf den Fall, wo es
zutrifft, wie wir sehen werden, stets zurückführen, wofern wir nur mit
Aussagen von bestimmtem Sinne operiren und diesen konstant festhalten.

Zunächst beachte man, dass, falls es zutrifft, jene Faktoren pri-
märe Urteile sein werden, d. h. Urteile nicht wieder über Urteile,
sondern solche, welche von den Dingen selbst handeln, Urteile über
gewisse Klassen von Dingen. Es werden dann also die linken Seiten
A, B, C, … jener Faktoraussagen nicht wieder Aussagen repräsen-
tiren, sondern Klassensymbole sein, oder — können wir im Hinblick
auf § 3 auch sagen — Gebietssymbole.

Die Gesamtaussage Α ist in diesem Falle eine sekundäre zu nennen.

Eine weitere Vereinfachung ihrer Form scheint alsdann sich allgemein
nicht erzielen zu lassen. Namentlich wird es nicht gestattet sein, die Un-
gleichungen B ≠ 0, C ≠ 0, etc. in die Gleichungen B = 1, C = 1, etc.
umzuschreiben, welche (die 1 durch die mit Tupfen i ersetzt) mit jenen
nur dann sicher äquivalent sein müssten, wenn B, C etc. selbst wieder
Aussagen von konstant festzuhaltendem Sinne vorstellten.

Betrachten wir jetzt aber auch den Fall, wo die Gesamtaussage
eine höhere als sekundäre ist, und nehmen zunächst einmal an, dass
alle unsre Symbole A, B, C, D, … selbst wieder Aussagensymbole seien.

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[191/0215] § 40. Mitchell’s allgemeine Form der Gesamtaussage der Data. (Produkten) als mit Produkten von Polynomen (Summen) rechnet, namentlich auch lieber die Multiplikationsregel für Polynome sowie das (erste) Distributionsgesetz, als wie deren duales Gegenstück an- wendet. Anstatt des Symbols i rechterhand in υ) und ψ) könnte man, falls es beliebt (und für gewisse Fälle werden wir vielleicht es vor- ziehen) auch 0 schreiben, desgleichen für die 0 rechts i, in Anbetracht, dass statt Α = i auch Α1 = 0 als damit gleichbedeutend gesagt werden kann, imgleichen wie auch (Α ≠ 0) = (Α1 ≠ 1) gilt. Der Negation Α1 von Α würde sich aber, kraft der Allgemeinheit der vorausgeschickten Erwägungen, ebenfalls die Form der linken Seite von υ), oder nach Belieben ψ), erteilen lassen. Auf diese Weise könnte man also hin- bringen, dass in unsern Formeln durchweg nur 0 als rechte Seite sämtlicher Vergleichungen erschiene, oder auch wenn man will, durch- weg nur i. Die vorstehenden Sätze υ) und ψ) hat schon Herr Mitchell1 gegeben. Beispiele zu denselben werden wir in Bälde bringen. Die Faktoren (A = 0), (B ≠ 0), (C ≠ 0), … in υ) waren die un- mittelbaren Unteraussagen der Gesamtaussage Α. Es kann sein, dass sie zugleich deren letzte Unteraussagen sind. Der Fall, wo dies nicht zutrifft, lässt sich aber auf den Fall, wo es zutrifft, wie wir sehen werden, stets zurückführen, wofern wir nur mit Aussagen von bestimmtem Sinne operiren und diesen konstant festhalten. Zunächst beachte man, dass, falls es zutrifft, jene Faktoren pri- märe Urteile sein werden, d. h. Urteile nicht wieder über Urteile, sondern solche, welche von den Dingen selbst handeln, Urteile über gewisse Klassen von Dingen. Es werden dann also die linken Seiten A, B, C, … jener Faktoraussagen nicht wieder Aussagen repräsen- tiren, sondern Klassensymbole sein, oder — können wir im Hinblick auf § 3 auch sagen — Gebietssymbole. Die Gesamtaussage Α ist in diesem Falle eine sekundäre zu nennen. Eine weitere Vereinfachung ihrer Form scheint alsdann sich allgemein nicht erzielen zu lassen. Namentlich wird es nicht gestattet sein, die Un- gleichungen B ≠ 0, C ≠ 0, etc. in die Gleichungen B = 1, C = 1, etc. umzuschreiben, welche (die 1 durch die mit Tupfen i ersetzt) mit jenen nur dann sicher äquivalent sein müssten, wenn B, C etc. selbst wieder Aussagen von konstant festzuhaltendem Sinne vorstellten. Betrachten wir jetzt aber auch den Fall, wo die Gesamtaussage eine höhere als sekundäre ist, und nehmen zunächst einmal an, dass alle unsre Symbole A, B, C, D, … selbst wieder Aussagensymbole seien.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 191. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/215>, abgerufen am 27.11.2024.