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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
zweite g) als besondern Fall unter sich, und brauchen wir deshalb blos
von den beiden b) und e) noch weiter zu sprechen.

Wie schon in § 21 -- Bd. 1, S. 456 -- gezeigt, lässt sich durch
eine leichte Umschreibung dem erstern durch b) gelösten Probleme
eine solche Gestalt geben, dass für beide Probleme die Elimination
ganz in der gleichen Weise vollziehbar, das Eliminationsverfahren für
sie ein einheitliches wird.

Dies wird nämlich dadurch erreicht, dass man die Gleichung, aus
welcher x zu eliminiren war (und darnach ebenso die Resultante der
Elimination), anstatt auf 0, rechts stets auf 1 gebracht ansetzt. Als-
dann ist bekanntlich das Untersuchungsergebniss b) zu ersetzen durch:
th) (a x + b x1 = 1) (a + b = 1)
und lehrt der Anblick von th) sowol als von e) folgendes: Man kann
die Elimination des x aus den Prämissen links einfach dadurch voll-
ziehen, dass man den Eliminanden x und seine Negation x1 ohne weiteres
unterdrückt, diese beiden Symbole sozusagen aus den Prämissen aus-
radirt ("erase").

Jedoch mit einem Vorbehalte; man merke etwa: Nur darf hiebei kein
Summenglied zerstört werden, ("provided no aggregant term is destroyed").
Weil nämlich x und x1 nur als Faktoren wegfallen, und deren Koeffizienten
stehn zu bleiben haben, so sind die letztern, wo sie etwa, weil = 1, un-
erwähnt geblieben, ausdrücklich anzufügen, bevor man an das Radiren geht.
M. a. W.: Ähnlich, wie in der Arithmetik beim "Heben", "Streichen" von
Nennerfaktoren in einem Bruche gegen ihnen gleiche des Zählers bekannt-
lich im letzteren die 1 als übrig bleibender Faktor angesetzt werden muss,
sobald alle Zählerfaktoren sich wegheben, so muss natürlich auch hier der
möglicherweise nicht angeschrieben gewesene Faktor 1 als Koeffizient hin-
zugedacht und wirklich angesetzt werden, wenn bei der Ausradirung des x
(oder x1) kein Faktor mehr stehen bleiben würde. So ist z. B. nur:
(x + q x1 0) (1 + q 0) = (1 0) = i;
die Elimination des x gibt also hier eine nichtssagende Resultante, nicht
aber dürfte (q 0) als Resultante hingestellt werden; und analog wird sein:
(p x + x1 0) = (p x + 1 · x1 0) (p + 1 0) = (1 0) = i
wobei abermals die Resultante von selbst erfüllt, keine Relation mehr ist. Desgl.
(x + b1 x1 = 1) (1 = 1) = i, (a1 x + x1 = 1) (1 = 1) = i.

Als ein letztes Spezialproblem behandle ich die fundamentale

Aufgabe. Aus einer simultan mit einer Gleichung geltenden Un-
gleichung:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0)
das Gebietsymbol x zu eliminiren.

§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
zweite γ) als besondern Fall unter sich, und brauchen wir deshalb blos
von den beiden β) und η) noch weiter zu sprechen.

Wie schon in § 21 — Bd. 1, S. 456 — gezeigt, lässt sich durch
eine leichte Umschreibung dem erstern durch β) gelösten Probleme
eine solche Gestalt geben, dass für beide Probleme die Elimination
ganz in der gleichen Weise vollziehbar, das Eliminationsverfahren für
sie ein einheitliches wird.

Dies wird nämlich dadurch erreicht, dass man die Gleichung, aus
welcher x zu eliminiren war (und darnach ebenso die Resultante der
Elimination), anstatt auf 0, rechts stets auf 1 gebracht ansetzt. Als-
dann ist bekanntlich das Untersuchungsergebniss β) zu ersetzen durch:
ϑ) (a x + b x1 = 1) ⊆ (a + b = 1)
und lehrt der Anblick von ϑ) sowol als von η) folgendes: Man kann
die Elimination des x aus den Prämissen links einfach dadurch voll-
ziehen, dass man den Eliminanden x und seine Negation x1 ohne weiteres
unterdrückt, diese beiden Symbole sozusagen aus den Prämissen aus-
radirt („erase“).

Jedoch mit einem Vorbehalte; man merke etwa: Nur darf hiebei kein
Summenglied zerstört werden, („provided no aggregant term is destroyed“).
Weil nämlich x und x1 nur als Faktoren wegfallen, und deren Koeffizienten
stehn zu bleiben haben, so sind die letztern, wo sie etwa, weil = 1, un-
erwähnt geblieben, ausdrücklich anzufügen, bevor man an das Radiren geht.
M. a. W.: Ähnlich, wie in der Arithmetik beim „Heben“, „Streichen“ von
Nennerfaktoren in einem Bruche gegen ihnen gleiche des Zählers bekannt-
lich im letzteren die 1 als übrig bleibender Faktor angesetzt werden muss,
sobald alle Zählerfaktoren sich wegheben, so muss natürlich auch hier der
möglicherweise nicht angeschrieben gewesene Faktor 1 als Koeffizient hin-
zugedacht und wirklich angesetzt werden, wenn bei der Ausradirung des x
(oder x1) kein Faktor mehr stehen bleiben würde. So ist z. B. nur:
(x + q x1 ≠ 0) ⊆ (1 + q ≠ 0) = (1 ≠ 0) = i;
die Elimination des x gibt also hier eine nichtssagende Resultante, nicht
aber dürfte (q ≠ 0) als Resultante hingestellt werden; und analog wird sein:
(p x + x1 ≠ 0) = (p x + 1 · x1 ≠ 0) ⊆ (p + 1 ≠ 0) = (1 ≠ 0) = i
wobei abermals die Resultante von selbst erfüllt, keine Relation mehr ist. Desgl.
(x + b1 x1 = 1) ⊆ (1 = 1) = i, (a1 x + x1 = 1) ⊆ (1 = 1) = i.

Als ein letztes Spezialproblem behandle ich die fundamentale

Aufgabe. Aus einer simultan mit einer Gleichung geltenden Un-
gleichung:
(a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0)
das Gebietsymbol x zu eliminiren.

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[205/0229] § 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle. zweite γ) als besondern Fall unter sich, und brauchen wir deshalb blos von den beiden β) und η) noch weiter zu sprechen. Wie schon in § 21 — Bd. 1, S. 456 — gezeigt, lässt sich durch eine leichte Umschreibung dem erstern durch β) gelösten Probleme eine solche Gestalt geben, dass für beide Probleme die Elimination ganz in der gleichen Weise vollziehbar, das Eliminationsverfahren für sie ein einheitliches wird. Dies wird nämlich dadurch erreicht, dass man die Gleichung, aus welcher x zu eliminiren war (und darnach ebenso die Resultante der Elimination), anstatt auf 0, rechts stets auf 1 gebracht ansetzt. Als- dann ist bekanntlich das Untersuchungsergebniss β) zu ersetzen durch: ϑ) (a x + b x1 = 1)  (a + b = 1) und lehrt der Anblick von ϑ) sowol als von η) folgendes: Man kann die Elimination des x aus den Prämissen links einfach dadurch voll- ziehen, dass man den Eliminanden x und seine Negation x1 ohne weiteres unterdrückt, diese beiden Symbole sozusagen aus den Prämissen aus- radirt („erase“). Jedoch mit einem Vorbehalte; man merke etwa: Nur darf hiebei kein Summenglied zerstört werden, („provided no aggregant term is destroyed“). Weil nämlich x und x1 nur als Faktoren wegfallen, und deren Koeffizienten stehn zu bleiben haben, so sind die letztern, wo sie etwa, weil = 1, un- erwähnt geblieben, ausdrücklich anzufügen, bevor man an das Radiren geht. M. a. W.: Ähnlich, wie in der Arithmetik beim „Heben“, „Streichen“ von Nennerfaktoren in einem Bruche gegen ihnen gleiche des Zählers bekannt- lich im letzteren die 1 als übrig bleibender Faktor angesetzt werden muss, sobald alle Zählerfaktoren sich wegheben, so muss natürlich auch hier der möglicherweise nicht angeschrieben gewesene Faktor 1 als Koeffizient hin- zugedacht und wirklich angesetzt werden, wenn bei der Ausradirung des x (oder x1) kein Faktor mehr stehen bleiben würde. So ist z. B. nur: (x + q x1 ≠ 0)  (1 + q ≠ 0) = (1 ≠ 0) = i; die Elimination des x gibt also hier eine nichtssagende Resultante, nicht aber dürfte (q ≠ 0) als Resultante hingestellt werden; und analog wird sein: (p x + x1 ≠ 0) = (p x + 1 · x1 ≠ 0)  (p + 1 ≠ 0) = (1 ≠ 0) = i wobei abermals die Resultante von selbst erfüllt, keine Relation mehr ist. Desgl. (x + b1 x1 = 1)  (1 = 1) = i, (a1 x + x1 = 1)  (1 = 1) = i. Als ein letztes Spezialproblem behandle ich die fundamentale Aufgabe. Aus einer simultan mit einer Gleichung geltenden Un- gleichung: (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) das Gebietsymbol x zu eliminiren.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 205. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/229>, abgerufen am 25.11.2024.