Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.Zwanzigste Vorlesung. derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein- Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar- In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge- Ebenso wären: Zwanzigste Vorlesung. derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein- Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar- In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge- Ebenso wären: <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <pb facs="#f0264" n="240"/> <fw place="top" type="header">Zwanzigste Vorlesung.</fw><lb/> <p>derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein-<lb/> unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen,<lb/> der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.</p><lb/> <p>Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar-<lb/> thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des<lb/> § 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel-<lb/> term <hi rendition="#i">b</hi> regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann:<lb/> 0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig<lb/> erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50<hi rendition="#sub">+</hi>) in’s Spiel<lb/> kommt], so folgt also <hi rendition="#i">keine</hi> Relation zwischen den beiden andern<lb/> Termen.</p><lb/> <p>In der That heissen bei Darapti <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> = 0 und <hi rendition="#i">b c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 die beiden<lb/> Prämissen; es ist (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">b</hi> + 0 · <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 0 die vereinigte Gleichung derselben,<lb/> also (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">b</hi>.</p><lb/> <p>Bei Felapton und Fesapo tritt nur <hi rendition="#i">c</hi> für <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ein. Hier haben wir also<lb/> die Elimination:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi> = 0) (<hi rendition="#i">b c</hi> = 0) = {(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) <hi rendition="#i">b</hi> = 0} <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (0 = 0)</hi><lb/> und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober-<lb/> satz <hi rendition="#i">b c</hi> = 0 bei ersterm als <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, bei letzterm als <hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> in Worte ge-<lb/> kleidet wird.</p><lb/> <p>Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge-<lb/> nügt es, nur mehr den ersten derselben, <hi rendition="#g">Darapti</hi>, noch richtig zu<lb/> stellen. 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Zwanzigste Vorlesung.
derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein-
unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen,
der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.
Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar-
thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des
§ 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel-
term b regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann:
0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig
erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50+) in’s Spiel
kommt], so folgt also keine Relation zwischen den beiden andern
Termen.
In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden
Prämissen; es ist (a1 + c1) b + 0 · b1 = 0 die vereinigte Gleichung derselben,
also (a1 + c1) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von b.
Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also
die Elimination:
(a1 b = 0) (b c = 0) = {(a1 + c) b = 0}  (0 = 0)
und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober-
satz b c = 0 bei ersterm als b  c1, bei letzterm als c  b1 in Worte ge-
kleidet wird.
Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge-
nügt es, nur mehr den ersten derselben, Darapti, noch richtig zu
stellen. Wir haben schon bei der Exemplifikation darauf hingewiesen,
dass, um ihn zu ergänzen, die Annahme b ≠ 0 den Prämissen noch
hinzugefügt werden muss. Der Schluss
α) (b  a) (b  c) (b ≠ 0)  (a c ≠ 0)
oder
β) (a1 b = 0) (b c1 = 0) (b ≠ 0)  (a c ≠ 0)
ist dann richtig, und lässt sich durch Elimination von b aus der
Aussage:
{(a1 + c1) b + 0 · b1 = 0} {1 · b + 0 · b1 ≠ 0}
gemäss der Regel ι) des § 41 beweisen, welche als Resultante liefert:
{(a1 + c1) · 0 = 0} · {1 · (a1 + c1)1 + 0 · 01 ≠ 0} = (0 = 0) (1 · a c + 0 · 1 ≠ 0)
oder (a c ≠ 0) — in Anbetracht, dass der Faktor (0 = 0), = i nicht
geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion,
d. h. der Satz „Einige a sind c“ dann auch die volle Resultante der
Elimination des b aus den Prämissen dar.
Ebenso wären:
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 240. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/264>, abgerufen am 16.07.2024. |