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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
diesen auf Grund der Formeln § 32, z) und e). Analog könnte man
dann auch noch die Formeln der zweiten Zeile von § 40, b) für den
Aussagenkalkul um-schreiben. --

Die bemerkenswertesten (bis jetzt bemerkten) Formeln gemischter
Natur will ich zunächst im Überblick hinsetzen. Sie sind, auf zwei
allgemeine Aussagen a, b bezüglich, diese:

gx)a (b a)g+)a1 (a b)
dx)a {(a b) b}d+)b1 {(a b) a1}
ex)(a b) a be+)(a b) b1 a1
zx){(a b) a} = az+){(a b) b1} = b1
ex)(a b) + b = (a b) = (a b) + a1(e+
und auf drei allgemeine Aussagen a, b, c bezüglich:
thx) {a (b c)} = (a b c) = {b (a c)} |
| th+) {a1 (c b)} = (c a + b) = {b1 (c a)}
-- mit raummangelshalber gebrochenem Mittelstriche; es soll dabei
die Chiffrirung Bezug haben auf denjenigen Satz, welcher sich durch
Vergleichung des mittleren Terms mit einem der beiden äussersten
ergibt, wogegen die Gleichsetzung der beiden extremen Terme citirt
werden mag als:
thx0) {a (b c)} = {b (a c)} |th+0) {a1 (c b)} = {b1 (c a)}.

Ähnlich wie bei th) sollen die Chiffren gedeutet werden bei den
Formeln:
ix) {a1 + (b c)} = (a b c) = {b1 + (a c)} |
| i+) {a + (c b)} = (c a + b) = {b + (c a)}
welche sich als eine blosse Umschreibung der Formeln th) nach § 32,
l) erweisen; desgleichen bei den Formeln:
kx) {(c a) b} (a b) {c (a b)} (gx |
| k+) {(b c) a1} (a b) {c1 (a b)} (gx
-- aus denen nebenher ersichtlich ist, dass a fortiori:
lx) {(a b) c} {a (b c)} somit (a b c). |
| l+) {(b c) a1} {c1 (a b)} somit (a b + c).

Die wichtigsten von diesen Sätzen dürften die e) und th) sein.

Viele von diesen Sätzen finden sich in 5 und 8 zerstreut bei Peirce,

Einundzwanzigste Vorlesung.
diesen auf Grund der Formeln § 32, ζ) und η). Analog könnte man
dann auch noch die Formeln der zweiten Zeile von § 40, β) für den
Aussagenkalkul um-schreiben. —

Die bemerkenswertesten (bis jetzt bemerkten) Formeln gemischter
Natur will ich zunächst im Überblick hinsetzen. Sie sind, auf zwei
allgemeine Aussagen a, b bezüglich, diese:

γ×)a ⊆ (b ⊆ a)γ+)a1 ⊆ (a ⊆ b)
δ×)a ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ b}δ+)b1 ⊆ {(a ⊆ b) ⊆ a1}
ε×)(a ⊆ b) a ⊆ bε+)(a ⊆ b) b1 ⊆ a1
ζ×){(a ⊆ b) ⊆ a} = aζ+){(a ⊆ b) ⊆ b1} = b1
η×)(a ⊆ b) + b = (a ⊆ b) = (a ⊆ b) + a1(η+
und auf drei allgemeine Aussagen a, b, c bezüglich:
ϑ×) {a ⊆ (b ⊆ c)} = (a b ⊆ c) = {b ⊆ (a ⊆ c)} |
| ϑ+) {a1 ⊆ (c ⊆ b)} = (c ⊆ a + b) = {b1 ⊆ (c ⊆ a)}
— mit raummangelshalber gebrochenem Mittelstriche; es soll dabei
die Chiffrirung Bezug haben auf denjenigen Satz, welcher sich durch
Vergleichung des mittleren Terms mit einem der beiden äussersten
ergibt, wogegen die Gleichsetzung der beiden extremen Terme citirt
werden mag als:
ϑ×0) {a ⊆ (b ⊆ c)} = {b ⊆ (a ⊆ c)} |ϑ+0) {a1 ⊆ (c ⊆ b)} = {b1 ⊆ (c ⊆ a)}.

Ähnlich wie bei ϑ) sollen die Chiffren gedeutet werden bei den
Formeln:
ι×) {a1 + (b ⊆ c)} = (a b ⊆ c) = {b1 + (a ⊆ c)} |
| ι+) {a + (c ⊆ b)} = (c ⊆ a + b) = {b + (c ⊆ a)}
welche sich als eine blosse Umschreibung der Formeln ϑ) nach § 32,
λ) erweisen; desgleichen bei den Formeln:
ϰ×) {(c ⊆ a) ⊆ b} ⊆ (a ⊆ b) ⊆ {c ⊆ (a ⊆ b)} (γ× |
| ϰ+) {(b ⊆ c) ⊆ a1} ⊆ (a ⊆ b) ⊆ {c1 ⊆ (a ⊆ b)} (γ×
— aus denen nebenher ersichtlich ist, dass a fortiori:
λ×) {(a ⊆ b) ⊆ c} ⊆ {a ⊆ (b ⊆ c)} somit ⊆ (a b ⊆ c). |
| λ+) {(b ⊆ c) ⊆ a1} ⊆ {c1 ⊆ (a ⊆ b)} somit ⊆ (a ⊆ b + c).

Die wichtigsten von diesen Sätzen dürften die ε) und ϑ) sein.

Viele von diesen Sätzen finden sich in 5 und 8 zerstreut bei Peirce,

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[262/0286] Einundzwanzigste Vorlesung. diesen auf Grund der Formeln § 32, ζ) und η). Analog könnte man dann auch noch die Formeln der zweiten Zeile von § 40, β) für den Aussagenkalkul um-schreiben. — Die bemerkenswertesten (bis jetzt bemerkten) Formeln gemischter Natur will ich zunächst im Überblick hinsetzen. Sie sind, auf zwei allgemeine Aussagen a, b bezüglich, diese: γ×) a  (b  a) γ+) a1  (a  b) δ×) a  {(a  b)  b} δ+) b1  {(a  b)  a1} ε×) (a  b) a  b ε+) (a  b) b1  a1 ζ×) {(a  b)  a} = a ζ+) {(a  b)  b1} = b1 η×) (a  b) + b = (a  b) = (a  b) + a1 (η+ und auf drei allgemeine Aussagen a, b, c bezüglich: ϑ×) {a  (b  c)} = (a b  c) = {b  (a  c)} | | ϑ+) {a1  (c  b)} = (c  a + b) = {b1  (c  a)} — mit raummangelshalber gebrochenem Mittelstriche; es soll dabei die Chiffrirung Bezug haben auf denjenigen Satz, welcher sich durch Vergleichung des mittleren Terms mit einem der beiden äussersten ergibt, wogegen die Gleichsetzung der beiden extremen Terme citirt werden mag als: ϑ×0) {a  (b  c)} = {b  (a  c)} | ϑ+0) {a1  (c  b)} = {b1  (c  a)}. Ähnlich wie bei ϑ) sollen die Chiffren gedeutet werden bei den Formeln: ι×) {a1 + (b  c)} = (a b  c) = {b1 + (a  c)} | | ι+) {a + (c  b)} = (c  a + b) = {b + (c  a)} welche sich als eine blosse Umschreibung der Formeln ϑ) nach § 32, λ) erweisen; desgleichen bei den Formeln: ϰ×) {(c  a)  b}  (a  b)  {c  (a  b)} (γ× | | ϰ+) {(b  c)  a1}  (a  b)  {c1  (a  b)} (γ× — aus denen nebenher ersichtlich ist, dass a fortiori: λ×) {(a  b)  c}  {a  (b  c)} somit  (a b  c). | | λ+) {(b  c)  a1}  {c1  (a  b)} somit  (a  b + c). Die wichtigsten von diesen Sätzen dürften die ε) und ϑ) sein. Viele von diesen Sätzen finden sich in 5 und 8 zerstreut bei Peirce,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 262. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/286>, abgerufen am 23.11.2024.