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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.

Dass aber -- um es wenigstens links vom Mittelstriche durchzu-
sprechen -- die vorwärtigen Subsumtionen:
*zx') {(a b) (a = 1)} (a = 1), *thx') {(a = 1) (b c)} (a b c),
*kx) {(c a) (b = 1)} (a b)
nur die engere Geltung haben werden, sieht man so: Ad zx') Entweder
ist b so beschaffen, dass (a b) = i oder so, dass (a b) = 0 ist. Im
ersten Falle muss in der That nach der Voraussetzung des Satzes und
Th. 5x) (a = 1) = i sein oder a = 1 gelten. Im letzteren Falle aber
trifft die Voraussetzung des Satzes für ein beliebiges a schon zu, ohne dass
doch a = 1 sein müsste. Also braucht der Satz nicht zu gelten. Und an
die Annahme (a = 1) resp. (c a) der hypothetischen Prämisse von thx)
resp. kx) lässt sich eine ähnliche Überlegung anknüpfen. Ist bei thx) wirk-
lich a = 1, so muss laut Hypothesis b c, also wegen a b b auch
a b c sein, wogegen für den andern Fall sich nichts behaupten lässt. Etc.

Überhaupt lassen die Formeln sowol in ihrer letzten, wie auch
in ihrer früheren Fassung sich auf die mannigfaltigste Weise als selbst-
verständliche erkennen, sich auf andere und teilweise auch aufeinander
zurückführen.

Um dies hervortreten zu lassen, will ich auch die Formel l) des § 32:
(a b) = a1 + b aus dieser ihrer gemischten Schreibung noch, wie oben
angegeben, in eine reine Formel umsetzen, wonach sie lauten wird:
§ 32, *l) (a b) = (a = 0) + (b = 1)
und offenbar nur die engere Geltung besitzen kann.

Darnach, sowie auch schon bei der gemischten Schreibweise, erscheinen
die Formeln g) als unmittelbare Konsequenzen ebendieser kraft des Theo-
rems 6n+). Ebenso lassen sich aus ihr die Formeln e) und e) ableiten. Jene,
z. B. ex), indem man beiderseits mit (a = 1) multiplizirt, rechts ausmulti-
plizirend das Th. § 32, a) (a = 0) (a = 1) = 0 berücksichtigt und endlich
nach Th. 6nx) schliesst (a b) (a = 1) = (a = 1) (b = 1) (b = 1). Diese,
z. B. ex), indem man beiderseits (b = 1) addirt und rechterhand das Tauto-
logiegesetz 14+) berücksichtigt.

Wir wollen die Formeln jetzt wieder in ihrer konziseren Fassung
-- als gemischte Formeln S. 262 -- in's Auge fassen und sie zunächst
einmal in Worte kleiden:

gx) Gilt a, so gilt es auch dann, wann b gilt.

g+) Gilt a nicht, so ist man hier berechtigt zu sagen es gelte b, wann
a gilt -- was immer für ein Urteil b auch vorstellen mag.

dx) Wenn a gilt, so muss, wenn b aus a folgt, auch b gelten.

d+) Gilt b nicht, so kann, wenn b aus a folgt, auch a nicht gelten.

Hiernächst möchte ich etwas vorgreifend das Theorem th) ein-
schalten:

§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.

Dass aber — um es wenigstens links vom Mittelstriche durchzu-
sprechen — die vorwärtigen Subsumtionen:
*ζ×') {(a ⊆ b) ⊆ (a = 1)} ⊆ (a = 1), *ϑ×') {(a = 1) ⊆ (b ⊆ c)} ⊆ (a b ⊆ c),
*ϰ×) {(c ⊆ a) ⊆ (b = 1)} ⊆ (a ⊆ b)
nur die engere Geltung haben werden, sieht man so: Ad ζ×') Entweder
ist b so beschaffen, dass (a ⊆ b) = i oder so, dass (a ⊆ b) = 0 ist. Im
ersten Falle muss in der That nach der Voraussetzung des Satzes und
Th. 5×) (a = 1) = i sein oder a = 1 gelten. Im letzteren Falle aber
trifft die Voraussetzung des Satzes für ein beliebiges a schon zu, ohne dass
doch a = 1 sein müsste. Also braucht der Satz nicht zu gelten. Und an
die Annahme (a = 1) resp. (c ⊆ a) der hypothetischen Prämisse von ϑ×)
resp. ϰ×) lässt sich eine ähnliche Überlegung anknüpfen. Ist bei ϑ×) wirk-
lich a = 1, so muss laut Hypothesis b ⊆ c, also wegen a b ⊆ b auch
a b ⊆ c sein, wogegen für den andern Fall sich nichts behaupten lässt. Etc.

Um dies hervortreten zu lassen, will ich auch die Formel λ) des § 32:
(a ⊆ b) = a1 + b aus dieser ihrer gemischten Schreibung noch, wie oben
angegeben, in eine reine Formel umsetzen, wonach sie lauten wird:
§ 32, *λ) (a ⊆ b) = (a = 0) + (b = 1)
und offenbar nur die engere Geltung besitzen kann.

Darnach, sowie auch schon bei der gemischten Schreibweise, erscheinen
die Formeln γ) als unmittelbare Konsequenzen ebendieser kraft des Theo-
rems 6̄+). Ebenso lassen sich aus ihr die Formeln ε) und η) ableiten. Jene,
z. B. ε×), indem man beiderseits mit (a = 1) multiplizirt, rechts ausmulti-
plizirend das Th. § 32, α) (a = 0) (a = 1) = 0 berücksichtigt und endlich
nach Th. 6̄×) schliesst (a ⊆ b) (a = 1) = (a = 1) (b = 1) ⊆ (b = 1). Diese,
z. B. η×), indem man beiderseits (b = 1) addirt und rechterhand das Tauto-
logiegesetz 1̅4̅+) berücksichtigt.

Wir wollen die Formeln jetzt wieder in ihrer konziseren Fassung
— als gemischte Formeln S. 262 — in’s Auge fassen und sie zunächst
einmal in Worte kleiden:

γ×) Gilt a, so gilt es auch dann, wann b gilt.

γ+) Gilt a nicht, so ist man hier berechtigt zu sagen es gelte b, wann
a gilt — was immer für ein Urteil b auch vorstellen mag.

δ×) Wenn a gilt, so muss, wenn b aus a folgt, auch b gelten.

δ+) Gilt b nicht, so kann, wenn b aus a folgt, auch a nicht gelten.

Hiernächst möchte ich etwas vorgreifend das Theorem ϑ) ein-
schalten:

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[265/0289] § 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls. Dass aber — um es wenigstens links vom Mittelstriche durchzu- sprechen — die vorwärtigen Subsumtionen: *ζ×') {(a b) (a = 1)} (a = 1), *ϑ×') {(a = 1) (b c)} (a b c), *ϰ×) {(c a) (b = 1)} (a b) nur die engere Geltung haben werden, sieht man so: Ad ζ×') Entweder ist b so beschaffen, dass (a b) = i oder so, dass (a b) = 0 ist. Im ersten Falle muss in der That nach der Voraussetzung des Satzes und Th. 5×) (a = 1) = i sein oder a = 1 gelten. Im letzteren Falle aber trifft die Voraussetzung des Satzes für ein beliebiges a schon zu, ohne dass doch a = 1 sein müsste. Also braucht der Satz nicht zu gelten. Und an die Annahme (a = 1) resp. (c a) der hypothetischen Prämisse von ϑ×) resp. ϰ×) lässt sich eine ähnliche Überlegung anknüpfen. Ist bei ϑ×) wirk- lich a = 1, so muss laut Hypothesis b c, also wegen a b b auch a b c sein, wogegen für den andern Fall sich nichts behaupten lässt. Etc. Überhaupt lassen die Formeln sowol in ihrer letzten, wie auch in ihrer früheren Fassung sich auf die mannigfaltigste Weise als selbst- verständliche erkennen, sich auf andere und teilweise auch aufeinander zurückführen. Um dies hervortreten zu lassen, will ich auch die Formel λ) des § 32: (a b) = a1 + b aus dieser ihrer gemischten Schreibung noch, wie oben angegeben, in eine reine Formel umsetzen, wonach sie lauten wird: § 32, *λ) (a b) = (a = 0) + (b = 1) und offenbar nur die engere Geltung besitzen kann. Darnach, sowie auch schon bei der gemischten Schreibweise, erscheinen die Formeln γ) als unmittelbare Konsequenzen ebendieser kraft des Theo- rems 6̄+). Ebenso lassen sich aus ihr die Formeln ε) und η) ableiten. Jene, z. B. ε×), indem man beiderseits mit (a = 1) multiplizirt, rechts ausmulti- plizirend das Th. § 32, α) (a = 0) (a = 1) = 0 berücksichtigt und endlich nach Th. 6̄×) schliesst (a b) (a = 1) = (a = 1) (b = 1) (b = 1). Diese, z. B. η×), indem man beiderseits (b = 1) addirt und rechterhand das Tauto- logiegesetz 1̅4̅+) berücksichtigt. Wir wollen die Formeln jetzt wieder in ihrer konziseren Fassung — als gemischte Formeln S. 262 — in’s Auge fassen und sie zunächst einmal in Worte kleiden: γ×) Gilt a, so gilt es auch dann, wann b gilt. γ+) Gilt a nicht, so ist man hier berechtigt zu sagen es gelte b, wann a gilt — was immer für ein Urteil b auch vorstellen mag. δ×) Wenn a gilt, so muss, wenn b aus a folgt, auch b gelten. δ+) Gilt b nicht, so kann, wenn b aus a folgt, auch a nicht gelten. Hiernächst möchte ich etwas vorgreifend das Theorem ϑ) ein- schalten:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 265. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/289>, abgerufen am 23.11.2024.

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