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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
thx) Es ist einerlei, ob wir sagen:
"Wenn a gilt, so muss, falls b gilt, auch c gelten", oder ob wir sagen:
"Wenn a und b zugleich gelten, so gilt auch c."

Mit dem gleichen Rechte -- symmetriehalber, weil a b = b a --
dürfen wir also für ersteres auch sagen: "Wenn b gilt, so muss, falls
a gilt, auch c gelten" -- was der Inhalt des Theorems thx0) von
Peirce ist.

Nach diesem Grundsatze thx) gehen nun offenbar die Theoreme e)
aus denen d) oder umgekehrt hervor, und besagen beide somit im
Grunde dasselbe.

Nach dem Schema:
{A (B C)} = (A B C)
werden wir nämlich haben
{a [(a b) b]} = {a (a b) b},
etc. Die Formel aber zur Linken des Gleichheitszeichens, mithin den
Satz dx), leitet Peirce in interessanter Weise aus der Identität:
[Formel 1] des Prinzips In nach dem ihm, wie erwähnt, als Prinzip geltenden Satze
thx0) {A (B C)} = {B (A C)}
ab, indem er einfach die unterstrichenen beiden Minoren miteinander ver-
tauscht; da nun die Identität = i ist, gilt, so muss darnach auch ihre
legitime Transformation = i sein, gelten. Und ähnliches mehr.

Dies angeführte Beispiel mag ein Bild davon geben, was für mancher-
lei Schlussweisen in diesem Teile unsrer Disziplin möglich und effektvoll
sind. Die Mannigfaltigkeit erscheint hier fast zu gross, um einigermassen
erschöpft werden zu können. Und doch kann die Disziplin erst dann in
ihrer Schönheit hervortreten, wenn man das Zusammengehörige auch voll-
ständig vereinigt, wogegen die verzettelten Fragmente solche Schönheit
noch vermissen lassen werden.

th+) nebst th+0) besagt: Folgt b aus c falls a nicht gilt, so muss, falls
c gilt, a oder b gelten, sowie umgekehrt, und muss auch a aus c
folgen wenn b nicht gilt.

Obwol sie, wie gezeigt, nur unwesentlich von denen d) sich unter-
scheiden, wollen wir doch die Formeln e) auch für sich noch betrachten.

ex) (a b) a b ist bekannt als der "modus ponens des gemischten
hypothetischen Schlusses" (auch als ein "konstruktiver" Syllo-
gismus):
Zugegeben: wenn a gilt, so gilt b. Nun gilt a. Ergo: gilt b. Und
e+) (a b) b1 a1 als der "modus tollens" desselben (ein "destruktiver"
Einundzwanzigste Vorlesung.
ϑ×) Es ist einerlei, ob wir sagen:
„Wenn a gilt, so muss, falls b gilt, auch c gelten“, oder ob wir sagen:
„Wenn a und b zugleich gelten, so gilt auch c.“

Mit dem gleichen Rechte — symmetriehalber, weil a b = b a —
dürfen wir also für ersteres auch sagen: „Wenn b gilt, so muss, falls
a gilt, auch c gelten“ — was der Inhalt des Theorems ϑ×0) von
Peirce ist.

Nach diesem Grundsatze ϑ×) gehen nun offenbar die Theoreme ε)
aus denen δ) oder umgekehrt hervor, und besagen beide somit im
Grunde dasselbe.

Nach dem Schema:
{A ⊆ (B ⊆ C)} = (A B ⊆ C)
werden wir nämlich haben
{a ⊆ [(a ⊆ b) ⊆ b]} = {a (a ⊆ b) ⊆ b},
etc. Die Formel aber zur Linken des Gleichheitszeichens, mithin den
Satz δ×), leitet Peirce in interessanter Weise aus der Identität:
[Formel 1] des Prinzips Ī nach dem ihm, wie erwähnt, als Prinzip geltenden Satze
ϑ×0) {A ⊆ (B ⊆ C)} = {B ⊆ (A ⊆ C)}
ab, indem er einfach die unterstrichenen beiden Minoren miteinander ver-
tauscht; da nun die Identität = i ist, gilt, so muss darnach auch ihre
legitime Transformation = i sein, gelten. Und ähnliches mehr.

Dies angeführte Beispiel mag ein Bild davon geben, was für mancher-
lei Schlussweisen in diesem Teile unsrer Disziplin möglich und effektvoll
sind. Die Mannigfaltigkeit erscheint hier fast zu gross, um einigermassen
erschöpft werden zu können. Und doch kann die Disziplin erst dann in
ihrer Schönheit hervortreten, wenn man das Zusammengehörige auch voll-
ständig vereinigt, wogegen die verzettelten Fragmente solche Schönheit
noch vermissen lassen werden.

ϑ+) nebst ϑ+0) besagt: Folgt b aus c falls a nicht gilt, so muss, falls
c gilt, a oder b gelten, sowie umgekehrt, und muss auch a aus c
folgen wenn b nicht gilt.

Obwol sie, wie gezeigt, nur unwesentlich von denen δ) sich unter-
scheiden, wollen wir doch die Formeln ε) auch für sich noch betrachten.

ε×) (a ⊆ b) a ⊆ b ist bekannt als der „modus ponens des gemischten
hypothetischen Schlusses“ (auch als ein „konstruktiver“ Syllo-
gismus):
Zugegeben: wenn a gilt, so gilt b. Nun gilt a. Ergo: gilt b. Und
ε+) (a ⊆ b) b1 ⊆ a1 als der „modus tollens“ desselben (ein „destruktiver“
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[266/0290] Einundzwanzigste Vorlesung. ϑ×) Es ist einerlei, ob wir sagen: „Wenn a gilt, so muss, falls b gilt, auch c gelten“, oder ob wir sagen: „Wenn a und b zugleich gelten, so gilt auch c.“ Mit dem gleichen Rechte — symmetriehalber, weil a b = b a — dürfen wir also für ersteres auch sagen: „Wenn b gilt, so muss, falls a gilt, auch c gelten“ — was der Inhalt des Theorems ϑ×0) von Peirce ist. Nach diesem Grundsatze ϑ×) gehen nun offenbar die Theoreme ε) aus denen δ) oder umgekehrt hervor, und besagen beide somit im Grunde dasselbe. Nach dem Schema: {A  (B  C)} = (A B  C) werden wir nämlich haben {a  [(a  b)  b]} = {a (a  b)  b}, etc. Die Formel aber zur Linken des Gleichheitszeichens, mithin den Satz δ×), leitet Peirce in interessanter Weise aus der Identität: [FORMEL] des Prinzips Ī nach dem ihm, wie erwähnt, als Prinzip geltenden Satze ϑ×0) {A  (B  C)} = {B  (A  C)} ab, indem er einfach die unterstrichenen beiden Minoren miteinander ver- tauscht; da nun die Identität = i ist, gilt, so muss darnach auch ihre legitime Transformation = i sein, gelten. Und ähnliches mehr. Dies angeführte Beispiel mag ein Bild davon geben, was für mancher- lei Schlussweisen in diesem Teile unsrer Disziplin möglich und effektvoll sind. Die Mannigfaltigkeit erscheint hier fast zu gross, um einigermassen erschöpft werden zu können. Und doch kann die Disziplin erst dann in ihrer Schönheit hervortreten, wenn man das Zusammengehörige auch voll- ständig vereinigt, wogegen die verzettelten Fragmente solche Schönheit noch vermissen lassen werden. ϑ+) nebst ϑ+0) besagt: Folgt b aus c falls a nicht gilt, so muss, falls c gilt, a oder b gelten, sowie umgekehrt, und muss auch a aus c folgen wenn b nicht gilt. Obwol sie, wie gezeigt, nur unwesentlich von denen δ) sich unter- scheiden, wollen wir doch die Formeln ε) auch für sich noch betrachten. ε×) (a  b) a  b ist bekannt als der „modus ponens des gemischten hypothetischen Schlusses“ (auch als ein „konstruktiver“ Syllo- gismus): Zugegeben: wenn a gilt, so gilt b. Nun gilt a. Ergo: gilt b. Und ε+) (a  b) b1  a1 als der „modus tollens“ desselben (ein „destruktiver“

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 266. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/290>, abgerufen am 23.11.2024.