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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Dilemma. Disjunktiver Schluss.
a b ... a -- cf. Th. 6x) -- dann auch a b ... x, oder es ist b x
und wegen a b ... b dann auch a b ... x, oder etc.; sonach zieht die
Voraussetzung in allen Fällen auch die Behauptung nach sich.

Man bemerkt, dass während den als Gleichungen angesetzten
Formeln a) blos die engere Geltung zukam, den im Sinne von a') als
Subsumtionen angesetzten sogar die weitere Geltung zukommen muss:
diese gelten auch für Klassen, Gebiete, Systeme, jene blos für Aus-
sagen. --

Als "disjunktiven Schluss" führt Sigwart den folgenden an
mit dem "modus ponendo-tollens":
(a b c1 + b1 c) (a b) (a c1):
Wenn a gilt so gilt entweder b oder (aber) c. Nun muss, wenn a
gilt, b gelten. Also wird dann c nicht gelten,
und mit dem "modus tollendo-ponens":
(a b c1 + b1 c) (a b1) (a c):
Wenn a gilt, so gilt b oder aber c. Falls a gilt, gilt nun aber b
nicht. Also muss, wenn a gilt, c gelten.

Desgleichen für mehr disjunkte Terme, z. B. für dreie:
(a b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d) (a b) (a c1 d1),
( " " ) (a c1 d1) (a b),
( " " ) (a b1) (a c d1 + c1 d),
etc. welche Schemata leicht in Worte zu kleiden, z. B.: Wenn a gilt,
so gilt entweder b, oder c, oder d -- und zwar jeweils allein (ohne
die beiden andern). Nun gilt, wenn a gilt, b; also gilt dann weder c
noch d. Etc.

Um alle diese Schlüsse direkt rechnerisch zu beweisen wird man die
vereinigte Gleichung der Prämissen für einen jeden derselben herstellen
und aus derselben b -- im vorletzten Falle c nebst d -- eliminiren. Für
jene erhält man unschwer:
a (b1 + c) = 0, resp. a (b + c1) = 0, resp.
a (b1 + c + d) = 0, a (b1 + c + d) = 0, a (b + c d + c1 d1) = 0,
-- in Anbetracht dass b c + b d + c d + b1 c1 d1 die Negation ist von
b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d,
wonach sich die drittletzte und die vorletzte Prämisse als äquivalent er-
weisen.

Die zugehörigen Resultanten sind bezüglich:

§ 45. Dilemma. Disjunktiver Schluss.
a b … ⊆ a — cf. Th. 6×) — dann auch a b … ⊆ x, oder es ist b ⊆ x
und wegen a b … ⊆ b dann auch a b … ⊆ x, oder etc.; sonach zieht die
Voraussetzung in allen Fällen auch die Behauptung nach sich.

Man bemerkt, dass während den als Gleichungen angesetzten
Formeln α) blos die engere Geltung zukam, den im Sinne von α') als
Subsumtionen angesetzten sogar die weitere Geltung zukommen muss:
diese gelten auch für Klassen, Gebiete, Systeme, jene blos für Aus-
sagen. —

Als „disjunktiven Schluss“ führt Sigwart den folgenden an
mit dem „modus ponendo-tollens“:
(a ⊆ b c1 + b1 c) (a ⊆ b) ⊆ (a ⊆ c1):
Wenn a gilt so gilt entweder b oder (aber) c. Nun muss, wenn a
gilt, b gelten. Also wird dann c nicht gelten,
und mit dem „modus tollendo-ponens“:
(a ⊆ b c1 + b1 c) (a ⊆ b1) ⊆ (a ⊆ c):
Wenn a gilt, so gilt b oder aber c. Falls a gilt, gilt nun aber b
nicht. Also muss, wenn a gilt, c gelten.

Desgleichen für mehr disjunkte Terme, z. B. für dreie:
(a ⊆ b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d) (a ⊆ b) ⊆ (a ⊆ c1 d1),
( „ „ ) (a ⊆ c1 d1) ⊆ (a ⊆ b),
( „ „ ) (a ⊆ b1) ⊆ (a ⊆ c d1 + c1 d),
etc. welche Schemata leicht in Worte zu kleiden, z. B.: Wenn a gilt,
so gilt entweder b, oder c, oder d — und zwar jeweils allein (ohne
die beiden andern). Nun gilt, wenn a gilt, b; also gilt dann weder c
noch d. Etc.

Um alle diese Schlüsse direkt rechnerisch zu beweisen wird man die
vereinigte Gleichung der Prämissen für einen jeden derselben herstellen
und aus derselben b — im vorletzten Falle c nebst d — eliminiren. Für
jene erhält man unschwer:
a (b1 + c) = 0, resp. a (b + c1) = 0, resp.
a (b1 + c + d) = 0, a (b1 + c + d) = 0, a (b + c d + c1 d1) = 0,
— in Anbetracht dass b c + b d + c d + b1 c1 d1 die Negation ist von
b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d,
wonach sich die drittletzte und die vorletzte Prämisse als äquivalent er-
weisen.

Die zugehörigen Resultanten sind bezüglich:

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[269/0293] § 45. Dilemma. Disjunktiver Schluss. a b …  a — cf. Th. 6×) — dann auch a b …  x, oder es ist b  x und wegen a b …  b dann auch a b …  x, oder etc.; sonach zieht die Voraussetzung in allen Fällen auch die Behauptung nach sich. Man bemerkt, dass während den als Gleichungen angesetzten Formeln α) blos die engere Geltung zukam, den im Sinne von α') als Subsumtionen angesetzten sogar die weitere Geltung zukommen muss: diese gelten auch für Klassen, Gebiete, Systeme, jene blos für Aus- sagen. — Als „disjunktiven Schluss“ führt Sigwart den folgenden an mit dem „modus ponendo-tollens“: (a  b c1 + b1 c) (a  b)  (a  c1): Wenn a gilt so gilt entweder b oder (aber) c. Nun muss, wenn a gilt, b gelten. Also wird dann c nicht gelten, und mit dem „modus tollendo-ponens“: (a  b c1 + b1 c) (a  b1)  (a  c): Wenn a gilt, so gilt b oder aber c. Falls a gilt, gilt nun aber b nicht. Also muss, wenn a gilt, c gelten. Desgleichen für mehr disjunkte Terme, z. B. für dreie: (a  b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d) (a  b)  (a  c1 d1), ( „ „ ) (a  c1 d1)  (a  b), ( „ „ ) (a  b1)  (a  c d1 + c1 d), etc. welche Schemata leicht in Worte zu kleiden, z. B.: Wenn a gilt, so gilt entweder b, oder c, oder d — und zwar jeweils allein (ohne die beiden andern). Nun gilt, wenn a gilt, b; also gilt dann weder c noch d. Etc. Um alle diese Schlüsse direkt rechnerisch zu beweisen wird man die vereinigte Gleichung der Prämissen für einen jeden derselben herstellen und aus derselben b — im vorletzten Falle c nebst d — eliminiren. Für jene erhält man unschwer: a (b1 + c) = 0, resp. a (b + c1) = 0, resp. a (b1 + c + d) = 0, a (b1 + c + d) = 0, a (b + c d + c1 d1) = 0, — in Anbetracht dass b c + b d + c d + b1 c1 d1 die Negation ist von b c1 d1 + b1 c d1 + b1 c1 d, wonach sich die drittletzte und die vorletzte Prämisse als äquivalent er- weisen. Die zugehörigen Resultanten sind bezüglich:

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Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 269. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/293>, abgerufen am 23.11.2024.