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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

a c = 0, a c1 = 0, a (c + d) = 0, a b1 = 0, a (c d + c1 d1) = 0,
woraus auch zu ersehen, dass keine abgeschwächten Schlüsse vorliegen,
dass vielmehr die obigen Konklusionen die vollen Resultanten darstellen.

Gebrauchte man statt des ausschliessenden das einschliessende "oder"
-- vergl. § 8, z, .. th) -- so ginge von den angeführten fünf Formen
(während die erste und dritte keine Konklusion liefert) die zweite, vierte
und fünfte Form über in:
(a b + c) (a b1) (a c),
(a b + c + d) (a c1 d1) (a b), (a b + c + d) (a b1) (a c + d).
Von diesen drei Schlüssen fallen die letzten beiden aber unter das Schema
des ersten, wie man sieht, wenn man in ihm c + d für c setzt, eventuell
nachdem man b mit c vertauschte.

Und jener erste ist ein gültiger Schluss, welcher leicht durch Elimina-
tion von b aus seiner vereinigten Prämissengleichung a b1 c1 + a b = 0, oder
wieder a (b + c1) = 0, zu rechtfertigen. Es ist mir unbekannt, ob er in
der traditionellen Logik einen Namen erhalten:

Wenn a gilt, so gilt b oder auch c. Nun gelte, wenn a gilt, b nicht.
Dann muss, wenn a gilt, c gelten.

Da er aber sich einfacher darstellt und auch zu seiner Rechtfertigung
ein wenig weniger Rechnung erforderte, so erseheint es naturgemäss, auf
ihn mittelst der Bemerkung, dass
b c1 + b1 c b + c, also (a b c1 + b1 c) (a b + c)
ist, den "modus tollendo-ponens" zurückzuführen, wodurch die selbständige
Begründung des letztern erspart wird. --

Im weitern Verfolg der spezifischen Gesetze des Aussagenkalkuls
(im Vergleiche zum Gebietekalkul) gelangen wir nunmehr zu den
minder wichtigen wenn auch noch bemerkenswerten Partieen derselben.

Sehr paradox erscheint auf den ersten Blick das als allgemein-
gültig in der That hinzustellende Formelpaar des Aussagenkalkuls:

*mx) (a b) (c a)

*m+) (a b) (b c)

dessen erste Formel von Peirce 8 p. 187 gegeben ist -- paradox aus
dem Grunde, weil die Aussage c, über welche die Konklusion rechts
berichtet, in der Prämisse links gar nicht vorkommt, diese also keiner-
lei Information über jene Aussage enthalten kann, während man
nichtsdestoweniger berechtigt ist, den Schluss von der Aussage linker-
hand auf die rechterhand als einen "deduktiven" zu bezeichnen.

Leicht ist zunächst der Beweis für die Formeln zu führen. Dieselben
besagen, dass

Einundzwanzigste Vorlesung.

Gebrauchte man statt des ausschliessenden das einschliessende „oder“
— vergl. § 8, ζ, ‥ ϑ) — so ginge von den angeführten fünf Formen
(während die erste und dritte keine Konklusion liefert) die zweite, vierte
und fünfte Form über in:
(a ⊆ b + c) (a ⊆ b1) ⊆ (a ⊆ c),
(a ⊆ b + c + d) (a ⊆ c1 d1) ⊆ (a ⊆ b), (a ⊆ b + c + d) (a ⊆ b1) ⊆ (a ⊆ c + d).
Von diesen drei Schlüssen fallen die letzten beiden aber unter das Schema
des ersten, wie man sieht, wenn man in ihm c + d für c setzt, eventuell
nachdem man b mit c vertauschte.

Wenn a gilt, so gilt b oder auch c. Nun gelte, wenn a gilt, b nicht.
Dann muss, wenn a gilt, c gelten.

Da er aber sich einfacher darstellt und auch zu seiner Rechtfertigung
ein wenig weniger Rechnung erforderte, so erseheint es naturgemäss, auf
ihn mittelst der Bemerkung, dass
b c1 + b1 c ⊆ b + c, also (a ⊆ b c1 + b1 c) ⊆ (a ⊆ b + c)
ist, den „modus tollendo-ponens“ zurückzuführen, wodurch die selbständige
Begründung des letztern erspart wird. —

Im weitern Verfolg der spezifischen Gesetze des Aussagenkalkuls
(im Vergleiche zum Gebietekalkul) gelangen wir nunmehr zu den
minder wichtigen wenn auch noch bemerkenswerten Partieen derselben.

Sehr paradox erscheint auf den ersten Blick das als allgemein-
gültig in der That hinzustellende Formelpaar des Aussagenkalkuls:

*μ×) (a ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a)

*μ+) (a ⊆ b) ⊆ (b ⊆ c)

dessen erste Formel von Peirce 8 p. 187 gegeben ist — paradox aus
dem Grunde, weil die Aussage c, über welche die Konklusion rechts
berichtet, in der Prämisse links gar nicht vorkommt, diese also keiner-
lei Information über jene Aussage enthalten kann, während man
nichtsdestoweniger berechtigt ist, den Schluss von der Aussage linker-
hand auf die rechterhand als einen „deduktiven“ zu bezeichnen.

Leicht ist zunächst der Beweis für die Formeln zu führen. Dieselben
besagen, dass

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[270/0294] Einundzwanzigste Vorlesung. a c = 0, a c1 = 0, a (c + d) = 0, a b1 = 0, a (c d + c1 d1) = 0, woraus auch zu ersehen, dass keine abgeschwächten Schlüsse vorliegen, dass vielmehr die obigen Konklusionen die vollen Resultanten darstellen. Gebrauchte man statt des ausschliessenden das einschliessende „oder“ — vergl. § 8, ζ, ‥ ϑ) — so ginge von den angeführten fünf Formen (während die erste und dritte keine Konklusion liefert) die zweite, vierte und fünfte Form über in: (a b + c) (a b1) (a c), (a b + c + d) (a c1 d1) (a b), (a b + c + d) (a b1) (a c + d). Von diesen drei Schlüssen fallen die letzten beiden aber unter das Schema des ersten, wie man sieht, wenn man in ihm c + d für c setzt, eventuell nachdem man b mit c vertauschte. Und jener erste ist ein gültiger Schluss, welcher leicht durch Elimina- tion von b aus seiner vereinigten Prämissengleichung a b1 c1 + a b = 0, oder wieder a (b + c1) = 0, zu rechtfertigen. Es ist mir unbekannt, ob er in der traditionellen Logik einen Namen erhalten: Wenn a gilt, so gilt b oder auch c. Nun gelte, wenn a gilt, b nicht. Dann muss, wenn a gilt, c gelten. Da er aber sich einfacher darstellt und auch zu seiner Rechtfertigung ein wenig weniger Rechnung erforderte, so erseheint es naturgemäss, auf ihn mittelst der Bemerkung, dass b c1 + b1 c b + c, also (a b c1 + b1 c) (a b + c) ist, den „modus tollendo-ponens“ zurückzuführen, wodurch die selbständige Begründung des letztern erspart wird. — Im weitern Verfolg der spezifischen Gesetze des Aussagenkalkuls (im Vergleiche zum Gebietekalkul) gelangen wir nunmehr zu den minder wichtigen wenn auch noch bemerkenswerten Partieen derselben. Sehr paradox erscheint auf den ersten Blick das als allgemein- gültig in der That hinzustellende Formelpaar des Aussagenkalkuls: *μ×) (a b) (c a) *μ+) (a b) (b c) dessen erste Formel von Peirce 8 p. 187 gegeben ist — paradox aus dem Grunde, weil die Aussage c, über welche die Konklusion rechts berichtet, in der Prämisse links gar nicht vorkommt, diese also keiner- lei Information über jene Aussage enthalten kann, während man nichtsdestoweniger berechtigt ist, den Schluss von der Aussage linker- hand auf die rechterhand als einen „deduktiven“ zu bezeichnen. Leicht ist zunächst der Beweis für die Formeln zu führen. Dieselben besagen, dass

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 270. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/294>, abgerufen am 23.11.2024.

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