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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
(a + b c) (a b c)(c a b) (c a + b)
gemäss Prinzip II und Th. 6n) -- vergl. auch die noch allgemeineren unter
u) des § 32 angeführten Schemata von Aussagensubsumtionen.

Daraus aber ergibt sich durch Kontraposition:

r) (a b c) (a + b c)(c a + b) (c a b)
und mit Rücksicht hierauf haben wir auch:
*s) (a b c) (c a + b)(c a + b) (a b c)
als a fortiori folgende, mithin abgeschwächte Formen von den zwei ersten
Paaren der (über's Kreuz zusammengehaltenen) Schlüsse x).

Demgegenüber erscheint bemerkenswert, dass sogar auch:

*t) (c a b) (a + b c)(a + b c) (c a b)
als zwei verstärkte Formen ebendieser Schlüsse und somit auch von n)
gelten müssen, indem dieselben leicht direkt zu rechtfertigen sind.

Weiter mögen von den Gesetzen der Nicht-Einordnung (non-implica-
tion) noch angeführt sein die beiden ein gewisses Gegenstück zu den
wichtigen th) bildenden gemischten Formeln:
ux) {(a b) c} = (a b + c) = {(a c) b} |
| u+) {(b a) c1} = (b c a) = {(c a) b1}
von deren erster Peirce wenigstens die Äquivalenz der beiden extremen
Terme anführt in den (mir separat zugeschickten) Corrigenda seiner Ab-
handlung 5.

Und endlich gehört hierher der die weitere Geltung besitzende Schluss:
ph) (a c) (a b) + (b c)
welcher sich einerseits durch Kontraposition aus Pr. II ergibt, und andrer-
seits bei direkter Begründung auf die Subsumtion a c1 a b1 + b c1 hinaus-
läuft, die unserm Beispiel m) in § 18 zugrunde gelegen.

Die Zerlegung einer Subsumtion des Aussagenkalkuls in eine Alter-
native von Gleichungen nach dem oben S. 265 im Kontext angeführten
Schema *l) des § 32):
(a b) = (a = 0) + (b = i)
nennt Herr Peirce 5, p. 20 unten, einen "Dialogismus". Als "kanonische"
Form desselben bezeichnet er aber ibid. p. 31 den soeben aufgestellten
Satz ph). Es scheint mir hiernach der Begriff des "Dialogismus" bei Peirce
selbst noch einigermassen zu schwanken. Ebenda bezeichnet er als "minor
indirect dialogism" den Satz:
kh) {x (b c)} {x (a c)} + (a b)
und als "major indirect dialogism" den:
ps) {x (a b)} {x (a c)} + (b c);
desgleichen stellt er die Sätze auf:

Schröder, Algebra der Logik. II. 18

§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
(a + b ⊆ c) ⊆ (a b ⊆ c)(c ⊆ a b) ⊆ (c ⊆ a + b)
gemäss Prinzip II und Th. 6̄) — vergl. auch die noch allgemeineren unter
υ) des § 32 angeführten Schemata von Aussagensubsumtionen.

Daraus aber ergibt sich durch Kontraposition:

ϱ) (a b ⊆ c) ⊆ (a + b ⊆ c)(c ⊆ a + b) ⊆ (c ⊆ a b)
und mit Rücksicht hierauf haben wir auch:
*σ) (a b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a + b)(c ⊆ a + b) ⊆ (a b ⊆ c)
als a fortiori folgende, mithin abgeschwächte Formen von den zwei ersten
Paaren der (über’s Kreuz zusammengehaltenen) Schlüsse ξ).

Demgegenüber erscheint bemerkenswert, dass sogar auch:

*τ) (c ⊆ a b) ⊆ (a + b ⊆ c)(a + b ⊆ c) ⊆ (c ⊆ a b)
als zwei verstärkte Formen ebendieser Schlüsse und somit auch von ν)
gelten müssen, indem dieselben leicht direkt zu rechtfertigen sind.

Weiter mögen von den Gesetzen der Nicht-Einordnung (non-implica-
tion) noch angeführt sein die beiden ein gewisses Gegenstück zu den
wichtigen ϑ) bildenden gemischten Formeln:
υ×) {(a ⊆ b) ⊆ c} = (a ⊆ b + c) = {(a ⊆ c) ⊆ b} |
| υ+) {(b ⊆ a) ⊆ c1} = (b c ⊆ a) = {(c ⊆ a) ⊆ b1}
von deren erster Peirce wenigstens die Äquivalenz der beiden extremen
Terme anführt in den (mir separat zugeschickten) Corrigenda seiner Ab-
handlung 5.

Und endlich gehört hierher der die weitere Geltung besitzende Schluss:
φ) (a ⊆ c) ⊆ (a ⊆ b) + (b ⊆ c)
welcher sich einerseits durch Kontraposition aus Pr. II ergibt, und andrer-
seits bei direkter Begründung auf die Subsumtion a c1 ⊆ a b1 + b c1 hinaus-
läuft, die unserm Beispiel μ) in § 18 zugrunde gelegen.

Die Zerlegung einer Subsumtion des Aussagenkalkuls in eine Alter-
native von Gleichungen nach dem oben S. 265 im Kontext angeführten
Schema *λ) des § 32):
(a ⊆ b) = (a = 0) + (b = i)
nennt Herr Peirce 5, p. 20 unten, einen „Dialogismus“. Als „kanonische“
Form desselben bezeichnet er aber ibid. p. 31 den soeben aufgestellten
Satz φ). Es scheint mir hiernach der Begriff des „Dialogismus“ bei Peirce
selbst noch einigermassen zu schwanken. Ebenda bezeichnet er als „minor
indirect dialogism“ den Satz:
χ) {x ⊆ (b ⊆ c)} ⊆ {x ⊆ (a ⊆ c)} + (a ⊆ b)
und als „major indirect dialogism“ den:
ψ) {x ⊆ (a ⊆ b)} ⊆ {x ⊆ (a ⊆ c)} + (b ⊆ c);
desgleichen stellt er die Sätze auf:

Schröder, Algebra der Logik. II. 18
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[273/0297] § 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls. (a + b  c)  (a b  c) (c  a b)  (c  a + b) gemäss Prinzip II und Th. 6̄) — vergl. auch die noch allgemeineren unter υ) des § 32 angeführten Schemata von Aussagensubsumtionen. Daraus aber ergibt sich durch Kontraposition: ϱ) (a b  c)  (a + b  c) (c  a + b)  (c  a b) und mit Rücksicht hierauf haben wir auch: *σ) (a b  c)  (c  a + b) (c  a + b)  (a b  c) als a fortiori folgende, mithin abgeschwächte Formen von den zwei ersten Paaren der (über’s Kreuz zusammengehaltenen) Schlüsse ξ). Demgegenüber erscheint bemerkenswert, dass sogar auch: *τ) (c  a b)  (a + b  c) (a + b  c)  (c  a b) als zwei verstärkte Formen ebendieser Schlüsse und somit auch von ν) gelten müssen, indem dieselben leicht direkt zu rechtfertigen sind. Weiter mögen von den Gesetzen der Nicht-Einordnung (non-implica- tion) noch angeführt sein die beiden ein gewisses Gegenstück zu den wichtigen ϑ) bildenden gemischten Formeln: υ×) {(a  b)  c} = (a  b + c) = {(a  c)  b} | | υ+) {(b  a)  c1} = (b c  a) = {(c  a)  b1} von deren erster Peirce wenigstens die Äquivalenz der beiden extremen Terme anführt in den (mir separat zugeschickten) Corrigenda seiner Ab- handlung 5. Und endlich gehört hierher der die weitere Geltung besitzende Schluss: φ) (a  c)  (a  b) + (b  c) welcher sich einerseits durch Kontraposition aus Pr. II ergibt, und andrer- seits bei direkter Begründung auf die Subsumtion a c1  a b1 + b c1 hinaus- läuft, die unserm Beispiel μ) in § 18 zugrunde gelegen. Die Zerlegung einer Subsumtion des Aussagenkalkuls in eine Alter- native von Gleichungen nach dem oben S. 265 im Kontext angeführten Schema *λ) des § 32): (a  b) = (a = 0) + (b = i) nennt Herr Peirce 5, p. 20 unten, einen „Dialogismus“. Als „kanonische“ Form desselben bezeichnet er aber ibid. p. 31 den soeben aufgestellten Satz φ). Es scheint mir hiernach der Begriff des „Dialogismus“ bei Peirce selbst noch einigermassen zu schwanken. Ebenda bezeichnet er als „minor indirect dialogism“ den Satz: χ) {x  (b  c)}  {x  (a  c)} + (a  b) und als „major indirect dialogism“ den: ψ) {x  (a  b)}  {x  (a  c)} + (b  c); desgleichen stellt er die Sätze auf: Schröder, Algebra der Logik. II. 18

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Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 273. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/297>, abgerufen am 23.11.2024.